Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

#1

: Κατασκευή κάθετης χωρίς οπτική επαφή.png (13 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

Έστω επίπεδο $\left( P \right)$ και ας είναι $\left( Q \right)$ αδιαφανές επίπεδο κάθετο στο $\left( P \right)$ και $\left( \eta \right)\equiv \left( P \right)\cap \left( Q \right)$ . Σημείο και ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ ανήκουν στο επίπεδο $\left( P \right)$ εκατέρωθεν της $\left( \eta \right)$ . Να κατασκευαστεί γεωμετρικά (με κανόνα και διαβήτη) ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην $\left( \varepsilon \right)$ .

* Επιτρέπεται μόνο η μεταφορά μετρικών μεγεθών από "ημιεπίπεδο" « $\left( \left( \varepsilon \right),\left( \eta \right) \right)$ » σε ημιεπίπεδο $\left( A,\left( \eta \right) \right)$ (έστω και τηλεφωνικά ). Όχι γωνίες, όχι διευθύνσεις

"Αυτή μπορεί να είναι δημιουργική εργασία !"

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Κατασκευή κάθετης χωρίς οπτική επαφή.pngΈστω επίπεδο $\left( P \right)$ και ας είναι $\left( Q \right)$ αδιαφανές επίπεδο κάθετο στο $\left( P \right)$ και $\left( \eta \right)\equiv \left( P \right)\cap \left( Q \right)$ . Σημείο και ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ ανήκουν στο επίπεδο $\left( P \right)$ εκατέρωθεν της $\left( \eta \right)$ . Να κατασκευαστεί γεωμετρικά (με κανόνα και διαβήτη) ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην $\left( \varepsilon \right)$ .

* Επιτρέπεται μόνο η μεταφορά μετρικών μεγεθών από "ημιεπίπεδο" « $\left( \left( \varepsilon \right),\left( \eta \right) \right)$ » σε ημιεπίπεδο $\left( A,\left( \eta \right) \right)$ (έστω και τηλεφωνικά ). Όχι γωνίες, όχι διευθύνσεις

"Αυτή μπορεί να είναι δημιουργική εργασία !"

Καλημέρα Στάθη!

Δεν ξέρω αν είναι "νόμιμο" αυτό που θα γράψω. Με προβλημάτισε η μη μεταφορά διευθύνσεων. Με κάθε επιφύλαξη λοιπόν, γράφω.

: Stathis-Stereo.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 1324 φορές

Από σημείο

της $(\epsilon)$ φέρνω ευθεία $(\zeta)$ του επιπέδου

κάθετη σε αυτήν. Τότε:

● Aν στο ημιεπίπεδο $\left( A,\left( \eta \right) \right)$ δεν είναι ορατή η $(\epsilon)$ , τότε συμπεραίνουμε ότι είναι παράλληλη με την $(\eta)$ , άρα η κάθετη από το

στην $(\eta)$ λύνει το πρόβλημα.

● Aν στο ημιεπίπεδο $\left( A,\left( \eta \right) \right)$ δεν είναι ορατή η $(\zeta)$ τότε συμπεραίνουμε ότι είναι παράλληλη με την $(\eta)$ , άρα η παράλληλη από το

στην $(\eta)$ λύνει το πρόβλημα.

● Τέλος, αν στο ημιεπίπεδο $\left( A,\left( \eta \right) \right)$ είναι ορατή η $(\zeta)$ (η γενική περίπτωση που φαίνεται στο σχήμα), τότε φέρνουμε από το

παράλληλη στη $(\zeta)$ .

Υποψιάζομαι πάντως, πως κάτι άλλο έχει στο μυαλό του ο Στάθης, γιατί δεν μου χρειάστηκε η καθετότητα των δύο επιπέδων.

S.E.Louridas · #3

Καλημέρα.
Μάλλον πρέπει να χρησιμοποιηθεί η ισότητα δύο εγγράψιμων γωνιών στον ίδιο κύκλο που βλέπουν το ίδιο τόξο...

KARKAR · #4

: Αδιαφάνεια.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 1299 φορές

Θεωρούμε γνωστή τη γωνία των $\eta , \varepsilon$ , οι οποίες τέμνονται στο

. Φέρουμε : $AA'\perp \eta$ .

Είναι γνωστά τα AA'=d

και

, συνεπώς και το

. Στο

υψώνω κάθετη ...

#5

Νομίζω ότι δεν κατάφερα να κάνω κατανοητό το πρόβλημα.

$\bullet$ Δεν γίνεται η μεταφορά διευθύνσεων και γωνιών στα δύο ημιεπίπεδα που χωρίζει η $\left( \eta \right)$ το επίπεδο . Το μόνο κοινό που έχουν τα δύο αυτά ημιεπίπεδα είναη η ευθεία $\left( \eta \right)$ (θα μπορούσε εναλλακτικά να ήταν τοίχος με παράλληλες έδρες το επίπεδο ).

$\bullet$ Η διεύθυνση της $\left( \varepsilon \right)$ δεν φαίνεται από την "άλλη μεριά" ανεξάρτητα της παραλληλίας της ή μη ως προς την $\left( \eta \right)$ αφού το είναι αδιαφανές

$\bullet$ Η καθετότητα των δεν έχει σημασία στο πρόβλημα. Θεωρήθηκε για να μην σκύβουν αν θέλουν να πλησιάσουν την $\left( \eta \right)$ .

$\bullet$ Το μόνο που μπορείτε να μεταφέτετε είναι μήκη τμημάτων.

Ευχαριστώ

Στάθης

#6

Μάλλον η λύση περνάει μέσα από το Θεώρημα του Θεματοδότη !!

#7

Doloros έγραψε:Μάλλον η λύση περνάει μέσα από το Θεώρημα του Θεματοδότη !!

Υπάρχει και τέτοια κατασκευή Νίκο αλλα τούτη εδώ ειναι για τα "πρωτάκια" της Α Λυκείου ! γιαυτο ειναι και στο φάκελο αυτό

KARKAR · #8

: Aδιαφάνεια b.png (10.25 KiB) Προβλήθηκε 1174 φορές

Σε τυχαίο σημείο

της $\varepsilon$ , φέρω το κάθετο τμήμα

. Τα υπόλοιπα προφανή

#9

KARKAR έγραψε:Aδιαφάνεια b.pngΣε τυχαίο σημείο της $\varepsilon$ , φέρω το κάθετο τμήμα . Τα υπόλοιπα προφανή

#10

: μεσοτοιχία.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 1139 φορές

Έχουμε το δικαίωμα να λάβουμε συμμετρικό τυχόντος σημείου ως προς την $\eta$ ; Αν ναι, τότε ... φέροντας την κάθετο από το

στην συμμετρική $\epsilon '$ της $\epsilon$ ... και προεκτείνοντας την μέχρι να τμήσει την $\eta$ στο

... προκύπτει η ζητούμενη κάθετος AB'

, όπου

το συμμετρικό του

ως προς την AA'

, όπου

το συμμετρικό του

ως προς την $\eta$ .

#11

gbaloglou έγραψε:μεσοτοιχία.pngΈχουμε το δικαίωμα να λάβουμε συμμετρικό τυχόντος σημείου ως προς την $\eta$ ; Αν ναι, τότε ... φέροντας την κάθετο από το στην συμμετρική $\epsilon '$ της $\epsilon$ ... και προεκτείνοντας την μέχρι να τμήσει την $\eta$ στο ... προκύπτει η ζητούμενη κάθετος , όπου το συμμετρικό του ως προς την , όπου το συμμετρικό του ως προς την $\eta$ .

Γιώργο ωραίο!! αλλά τότε θα είχαμε οπτική επαφή σε σημείο της διχωριστικής η οποία θα μπορούσε να ήταν και ένας τοίχος με παράλληλες έδρες , πράγμα που δεν συμβαίνει εδώ viewtopic.php?f=22&t=57738

Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης

Γιώργος Μήτσιος · #12

Καλημέρα σε όλους ! Άκρως ελκυστικό το θέμα ! Μια προσπάθεια , αφού κι' ο Θανάσης μας ανοίγει δρόμους!!
Κλειδί για τη λύση είναι να κατασκευάσουμε στο ημιεπίπεδο του

ευθεία παράλληλη της $\varepsilon$ ..χωρίς να ''βλέπουμε'' την $\varepsilon$ !

: 7-3-17 SK Απροσπέλαστος !.PNG (12.23 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

Ας θεωρήσουμε δυο φίλους , ένα σε κάθε ημιεπίπεδο χωρίς οπτική επαφή , που όμως συννενοούνται και κατασκευάζουν τα εξής :

Πρώτα τις $\eta _{1}\parallel \eta \parallel \eta _{2}$ από το

και το

( τυχαίο σημείο της $\varepsilon$ ) . Ευτυχώς και οι δύο βλέπουν την $\eta$ ..
Πάνω σ' αυτές θεωρούν ίσα τμήματα $AB=KL=\alpha$ και κατασκευάζουν τα ημικύκλια με αυτά διαμέτρους , όπως φαίνονται στο σχήμα .

Η $\varepsilon$ τέμνει το ημικύκλιο στο

και το μέγεθος του KM=b

δίνεται από τον ένα φίλο στον άλλο.
Έτσι αριστερά με τον κύκλο (B,b)

εντοπίζεται το σημείο

ως τομή με το ημικύκλιο.

Προφανώς τα ορθ. τρίγωνα ABC,KLM

είναι από κατασκευή ίσα συνεπώς $\widehat{B}=\widehat{K}$ .

Αλλά $\widehat{B}=\widehat{Z}$ (εντός ενναλλάξ) ενώ $\widehat{K}=\widehat{H}$ (εντός εκτός κι' επί τα αυτά).

Επομένως $\widehat{Z}=\widehat{H}$ , άρα $BCZ\parallel \varepsilon$ αφού σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες .

Η

λοιπόν είναι η ζητουμένη (.. η μακρά λήγουσα ..

.. έλκει τον τόνο ) ως κάθετη στην παράλληλη της $\varepsilon$ .

Φιλικά , Γιώργος

Υ.Γ Τώρα που βλέπω ξανά τις προηγούμενες απαντήσεις... συνειδητοποιώ ότι η σχέση $\widehat{K}=\widehat{B}$ πληροί ακριβώς αυτό που έθεσε ο Σωτήρης !

#13

Στον δρόμο που άνοιξε ο Θανάσης πιο πάνω ( παραλλαγή της 8ης δημοσίευσης ).

Έστω

, η προβολή του

επί της ευθείας $(\eta)$ και ας είναι $B'\in (\eta)$ τέτοιο ώστε BB' = AA'

.

Η δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την $(\eta)$ , τέμνει την ευθεία $(\epsilon)$ στο σημείο έστω

και ας είναι

, το σημείο μεταξύ των $A',\ B$ , τέτοιο ώστε AT' = B'S

.

Η ευθεία

είναι κάθετη επί την ευθεία $(\epsilon)$ και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Re: Γεωμετρική κατασκευή κάθετης σε ευθεία από σημείο χωρίς οπτική επαφή

Μέλη σε σύνδεση