Γωνία διαγωνίου με πλευρά

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6880
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Γωνία διαγωνίου με πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιούλ 01, 2017 5:47 pm

Γωνία διαγωνίου με πλευρά.png
Γωνία διαγωνίου με πλευρά.png (9.6 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές
Να βρεθεί η γωνία x



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 799
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Γωνία διαγωνίου με πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιούλ 01, 2017 11:59 pm

Θα χρησιμοποιηθεί το εξής:

Λήμμα

Έστω τρίγωνο ABC και σημείο D ώστε AB=AD και \widehat{BAC} = 2 \cdot \widehat{BDC} = 2x. Τότε ισχύει AB = AC.
Γωνία διαγωνίου - λήμμα.png
Γωνία διαγωνίου - λήμμα.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει, και υπάρχει άλλο σημείο C' στην AC ώστε AB=AC'. Τότε τα σημεία B, C' και D βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο το A. Άρα \widehat{BAC'} = 2 \cdot \widehat{BDC'} (επίκεντρη και αντίστοιχη εγγεγραμμένη), επομένως \widehat{BDC'}=x. Όμως έχουμε ότι \widehat{BDC}=x, άρα C \equiv C' και το ζητούμενο ισχύει.
Γωνία διαγωνίου.png
Γωνία διαγωνίου.png (30 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Για το αρχικό πρόβλημα λοιπόν, σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ABE, με το σημείο E να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο C σε σχέση με την AB.

θα αποδείξουμε αρχικά ότι τα σημεία D, C και E είναι συνευθειακά.

Ισχύει ότι \widehat{ADC} = 40^o (1)
Στο ισοσκελές τρίγωνο ADE έχουμε ότι \widehat{DAE} = 160^o - 60^o = 100^o και επομένως \widehat{ADE} = (180^o - 100^o)/2 = 40^o (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Έχουμε λοιπόν ότι \widehat{AEC} = 40^o.

Εφαρμόζουμε το λήμμα στο τρίγωνο AEC, όπου ισχύει ότι EA=EB και \widehat{AEC} = 2 \cdot \widehat{ABC} = 2 \cdot 20^o
Άρα EA=EC και επειδή EA=EB, προκύπτει ότι τα σημεία B, A και C βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο το E. Άρα \widehat{AEB} = 2 \cdot \widehat{ACB} = 2x (επίκεντρη και αντίστοιχη εγγεγραμμένη), άρα x=30^o


Houston, we have a problem!
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Γωνία διαγωνίου με πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Ιούλ 05, 2017 11:33 am

Doloros έγραψε:Γωνία διαγωνίου με πλευρά.png

Να βρεθεί η γωνία x
Καλημέρα. Μια προσπάθεια...
Γωνία διαγωνίου με πλευρά1.png
Γωνία διαγωνίου με πλευρά1.png (143.19 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Φέρω τον περιγεγραμμένο στο τρίγωνο BCD κύκλο καθώς και τις ακτίνες του κύκλου KB , KC .
Το τρίγωνο KBC είναι ισόπλευρο (ισοσκελές και η επίκεντρη γωνία \widehat{BKC} =60^o, αφού η αντίστοιχή της εγγεγραμμένη,
η οποία βαίνει στο ίδιο με αυτήν τόξο είναι \widehat{BDC} =30^o) .

Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία K , A είναι η μεσοκάθετος της χορδής BD.
Το παραπάνω ισχύει διότι τα σημεία K και A ισαπέχουν από τα άκρα του BD.
Δηλαδή το KE είναι το απόστημα της χορδής BD.
Συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο KEB έχουμε:\widehat{KBE}=\widehat{KBA}+\widehat{ABE}=40^o +10^o = 50^o .
Άρα \widehat{KBA}=\widehat{BKA}= 40^o, οπότε το τρίγωνο AKB είναι ισοσκελές.

Στη συνέχεια συγκρίνουμε τα τρίγωνα KCA και ACB. Έχουμε :
CA : κοινή
BK=BC ως πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου
AK=AB επειδή το τρίγωνο AKB είναι ισοσκελές.
Άρα από κριτήριο Π-Π-Π τα τρίγωνα KCA και ACB είναι ίσα.
Συνεπώς \widehat{BCA}=\widehat{ACK}=\dfrac{\widehat{KCB}}{2} = 30^o.
Συνεπώς η γωνία x, \theta στο παραπάνω σχήμα, είναι 30^o .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3255
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γωνία διαγωνίου με πλευρά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιούλ 05, 2017 2:50 pm

Doloros έγραψε:
Να βρεθεί η γωνία x
Καλησπέρα!
Γωνία-διαγωνίου-με-πλευρά.png
Γωνία-διαγωνίου-με-πλευρά.png (15.59 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές
Με C', το συμμετρικό του C ως προς BD, έχουμε:

Το ισοσκελές \triangleleft BCC'({20^ \circ }{,80^ \circ }{,80^ \circ }), το ισόπλευρο \triangleleft DCC', το ισοσκελές \triangleleft C'AD({140^ \circ }{,20^ \circ }{,20^ \circ }) και το ισοσκελές \triangleleft C'CA({80^ \circ }{,50^ \circ }{,50^ \circ })

Έτσι, x = {80^ \circ } - {50^ \circ } = {30^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης