Δανεικά απ' τον Θαλή

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δανεικά απ' τον Θαλή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 12, 2017 9:01 am

Γεπέκταση.png
Γεπέκταση.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι AB=AC και \hat{A}=36^0 . Ο κύκλος (C,CA)

τέμνει την προέκταση της AB στο D , ενώ ο περίκυκλος του DBC τέμνει

τον προηγούμενο κύκλο και στο E . Ονομάζω S την τομή των AE,DC .

Δείξτε ότι : DS=BC . Φυσικά εμπνευσμένη από τον "Θαλή" !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δανεικά απ' τον Θαλή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 12, 2017 10:03 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 12, 2017 9:01 am
Γεπέκταση.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι AB=AC και \hat{A}=36^0 . Ο κύκλος (C,CA)

τέμνει την προέκταση της AB στο D , ενώ ο περίκυκλος του DBC τέμνει

τον προηγούμενο κύκλο και στο E . Ονομάζω S την τομή των AE,DC .

Δείξτε ότι : DS=BC . Φυσικά εμπνευσμένη από τον "Θαλή" !
Δανεικά-Θαλή.png
Δανεικά-Θαλή.png (19.58 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
Από το Θαλή είναι η AE μεσοκάθετη του BC, οπότε το ABEC είναι ρόμβος και τα

τρίγωνα BDC, SBC ισοσκελή. Άρα \boxed{BC=BD=DS}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δανεικά απ' τον Θαλή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 12, 2017 10:23 am

Ας είναι L το κέντρο του κύκλου (B,C,D) και K του κύκλου (A,B,C) . Επειδή CA = CD θα είναι οι γωνίες του τριγώνου CAD στα A,D από 36^\circ .

Οι πιο πάνω κύκλοι με κέντρα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L έχουν κοινή χορδή BC και τις εγγεγραμμένες τους γωνίες στα αντίστοιχα τόξα ίσες , άρα είναι ίσοι.
Δανεικά απο Θαλή.png
Δανεικά απο Θαλή.png (42.22 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Η ευθεία της διακέντρου KL τέμνει τη BC έστω στο M και αφού προφανώς η BC είναι μεσοκάθετος στο KL αλλά και στο AE το E είναι κοινό σημείο των κύκλων (C,CA)\,\, και (C,B,D).

Αναγκαστικά τα τρίγωνα BDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBS είναι ισοσκελή οπότε: \boxed{SD = DB = BC}

Παρατήρηση : Το θέμα μπορεί να απαντηθεί και με ύλη Β Λυκείου, αφού τα πιο πάνω ευθύγραμμα τμήματα είναι η πλευρά κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου στο κύκλο κέντρου L.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης