Τρίγωνο-67.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (9.23 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (BA=B\Gamma )$ , το μέσο της $A\Gamma$
και σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε $\angle AKB=90^{0}$ , $B\Gamma =2NK$ .
Αν η προέκταση της , προς το μέρος του , τέμνει τη $B\Gamma$ στο ,
να υπολογίσετε τη $\angle NM\Gamma$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 22, 2018 9:55 pm
1.png

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (BA=B\Gamma )$ , το μέσο της $A\Gamma$
και σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε $\angle AKB=90^{0}$ , $B\Gamma =2NK$ .
Αν η προέκταση της , προς το μέρος του , τέμνει τη $B\Gamma$ στο ,
να υπολογίσετε τη $\angle NM\Gamma$ .

: Τρίγωνο 67.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Έστω

το μέσο του AB.

Είναι $\displaystyle KP = \frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{2} = KN = NP.$ Άρα το KPN

είναι ισόπλευρο.

$\displaystyle \varphi + {60^0} + \omega = {180^0} = \widehat C + \omega + \theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{\widehat C = \varphi }$ $\boxed{\theta=60^0}$

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 22, 2018 9:55 pm

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (BA=B\Gamma )$ , το μέσο της $A\Gamma$
και σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε $\angle AKB=90^{0}$ , $B\Gamma =2NK$ .
Αν η προέκταση της , προς το μέρος του , τέμνει τη $B\Gamma$ στο ,
να υπολογίσετε τη $\angle NM\Gamma$ .

Καλημέρα.
Μια άλλη ιδέα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα όπου το σημείο $\displaystyle{D}$ είναι
το μέσο της πλευράς $\displaystyle{BC}$ .

: Τρίγωνο 67-1.png (27.17 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

Από το τρίγωνο $\displaystyle{MND}$ προκύπτει η σχέση:

$\displaystyle{\hat{\phi}=\hat{\omega}-\hat{\theta} \ \ (1)}$

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{\hat{\theta}=90^o-\hat{N_1}-\hat{N_2} \ \ (2)}$

Όμως επειδή $\displaystyle{ND//AB }$ θα είναι:

$\displaystyle{\hat{\omega}=\hat{B}\ \ (3)}$ και $\displaystyle{\hat{N_2}=\hat{C}\ \ (4)}$

Επίσης από το εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABKN}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\hat{\theta}+\hat{N_2}=\hat{ABK}\ \ (5)}$

Τέλος από το ίδιο τετράπλευρο έχουμε:

$\displaystyle{\hat{N_1}=\hat{A_1} \ \ (6)}$

Έτσι η (1) από τις (2), (3), (4), (5), (6) γίνεται:

$\displaystyle{\hat{\phi}=90^o-\hat{A_2} \ \ (6)}$

Όμως:

$\displaystyle{\hat{A_2}=30^o \ \ (7)}$

διότι η εγγεγραμμένη αυτή γωνία βαίνει σε τόξο που αντιστοιχεί στη χορδή

$\displaystyle{NK=\frac{AB}{2} \ \ (8)}$

και η οποία είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο
τετράπλευρο $\displaystyle{ABKN}$ (πλευρά κανονικού εξαγώνου)

Άρα από την (6) προκύπτει:

$\displaystyle{\hat{\phi}=60^o}$

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:
Θα ακολουθήσει μια μικρή διερεύνηση περιπτώσεων.

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 22, 2018 9:55 pm

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma (BA=B\Gamma )$ , το μέσο της $A\Gamma$
και σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε $\angle AKB=90^{0}$ , $B\Gamma =2NK$ .
Αν η προέκταση της , προς το μέρος του , τέμνει τη $B\Gamma$ στο ,
να υπολογίσετε τη $\angle NM\Gamma$ .

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 23, 2018 10:06 am
...................

Καλημέρα.
Μια άλλη ιδέα...

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:
Θα ακολουθήσει μια μικρή διερεύνηση περιπτώσεων.

Καλημέρα

Το σημείο $\displaystyle{K}$ δεν μπορεί να βρίσκεται πάντα εντός του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle{ABC$ .
Αυτό φαίνεται στα ακόλουθα σχήματα στα οποία βέβαια με την συλλογιστική που
αναπτύχθηκε ή και με άλλες, δείχνεται ότι η γωνία $\phi$ παραμένει πάντα ίση με 60^o}

.

Παραθέτω τα ακόλουθα σχήματα όπου μπορεί κάποιος να παρατηρήσει τη νομοτέλεια αυτή.

1ο σχήμα:

: Τρίγωνο 67-4.png (25.71 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Στην περίπτωση που το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο τότε το σημείο
$\displaystyle{K}$ ταυτίζεται με το μέσο $\displaystyle{D}$ και με το σημείο τομής $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{NK}$ με την πλευρά
$\displaystyle{BC}$ .

2ο σχήμα:

: Τρίγωνο 67-2.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Αν η γωνία $\displaystyle{B}$ γίνει μικρότερη των $\displaystyle{60^o}$ , τότε το σημείο $\displaystyle{K}$
βρίσκεται εκτός του τριγώνου και πάλι η γωνία $\displaystyle{\phi}$ παραμένει $\displaystyle{60^o}$ .

3ο σχήμα:

: Τρίγωνο 67-5.png (13.25 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Αν η γωνία $\displaystyle{B=120^o}$ τότε το σημείο $\displaystyle{K}$ καθώς και το σημείο $\displaystyle{M}$
ταυτίζονται με την κορυφή $\displaystyle{B}$ του τριγώνου και πάλι θα είναι $\displaystyle{\hot{\phi}=60^o}$ .

4ο σχήμα:

: Τρίγωνο 67-3.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Αν η γωνία $\displaystyle{B>120^o}$ , τότε το σημείο $\displaystyle{K}$ βρίσκεται εκτός του τριγώνου και μάλιστα
στο απέναντι ημιεπίπεδο ως προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ από εκείνο που ήταν στην αρχική
περίπτωση. Και πάλι θα είναι $\displaystyle{\hot{\phi}=60^o}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Τρίγωνο-67.

Τρίγωνο-67.

Re: Τρίγωνο-67.

Re: Τρίγωνο-67.

Re: Τρίγωνο-67.

Μέλη σε σύνδεση