Ισογώνιες

#1

: Ισογώνιες.png (9.29 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC).

Η κάθετη από το

στη

τέμνει τη

στο

και την

στο

Να δείξετε ότι $A\widehat MB=E\widehat MC.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm
Ισογώνιες.png
είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου Η κάθετη από το στη

τέμνει τη στο και την στο Να δείξετε ότι $A\widehat MB=E\widehat MC.$

: Ισογώνιες.png (24.74 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

Το σημείο τομής

των διαμέσων $AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ είναι το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$

αλλά και το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABE$ συνεπώς το τετράπλευρο AGEC

είναι

ισοσκελές τραπέζιο και έτσι τα τρίγωνα $AMG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CME$ είναι ίσα .

Στο ισοσκελές τρίγωνο MGE

το ύψος προς τη βάση

είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του .

Συνεπώς $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ως συμπληρώματα ίσων γωνιών .

Παρατήρηση : Μετά από την ισότητα των τριγώνων έχουμε άμεσα και την ισότητα των γωνιών που θέλουμε

Γιώργος Μήτσιος · #3

Χαιρετώ!

: Ισογώνιες.PNG (9.48 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Θεωρώ το τετράγωνο BACU

. Τα ορθ. τρίγωνα BAM,CAN

είναι ίσα αφού έχουν
AB=AC

και $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (οξείες με κάθετες πλευρές) άρα NC=AM

δηλ.

μέσον της

.

Στο τρίγωνο ACU

το

είναι το βαρύκεντρο , ως τομή των διαμέσων AN,CO

συνεπώς τα U,E,M

συνευθειακά.
Από τα ίσα τρίγωνα BAM,CUM

έπεται το ζητούμενο .
Φιλικά Γιώργος .

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm

είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου Η κάθετη από το στη

τέμνει τη στο και την στο Να δείξετε ότι $A\widehat MB=E\widehat MC.$

Χαιρετώ. Μια λύση με ομοιότητα!

: shape.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Φέρω $EK \bot AC$ και θέτω $KC = KE = 2x\, \wedge \,MK = y$

Τα ορθογώνια $\triangleleft MAB, \triangleleft EKA$ είναι όμοια με λόγο καθέτων 1:2

, οπότε

$AK = 2KE \Leftrightarrow 2x + 2y = 4x \Leftrightarrow x = y$

Έτσι, το $\triangleleft MKE$ είναι όμοιο με τα αρχικά και το ζητούμενο έπεται.

Ιστοσελίδα · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm

είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου Η κάθετη από το στη

τέμνει τη στο και την στο Να δείξετε ότι $A\widehat MB=E\widehat MC.$

: shape.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Φέρω $CZ \bot AE$ και

συμμετρικό του

ως προς

Από αντίστροφο Θαλή προκύπτει $EM\parallel BM'$ και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Ιστοσελίδα · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 6:29 pm

είναι η διάμεσος ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου Η κάθετη από το στη

τέμνει τη στο και την στο Να δείξετε ότι $A\widehat MB=E\widehat MC.$

: shape.png (9 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Αν $CZ \bot AC$ , τότε από την ισότητα των τριγώνων $BAM,ACZ\, \wedge \,ECM,ECZ$ το ζητούμενο έπεται.

Γιώργος Μήτσιος · #7

Xαιρετώ και πάλι τους φίλους. Καταιγιστικός ο Μιχάλης !
Χάρηκα περισσότερο την 3η λύση του , η οποία αποτελεί σαφή βελτίωση αυτής που έδωσα
διατηρώντας από το σχήμα μόνο τα ..απέριττα! Στη συνέχεια ελαφρά παραλλαγή της λύσης του Νίκου

: 5-4-18 Ισογώνιες.PNG (6.64 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Είναι

και $\widehat{OAE}=\widehat{OBG}=\omega$ άρα τα ορθ. τρίγωνα AOE,BOG

είναι ίσα.

Τότε $OE=OG \Rightarrow AG=CE$ .

Έτσι τα τρίγωνα MAG, MEC

προφανώς ίσα και το ζητούμενο άμεσο. Φιλικά Γιώργος.

Ισογώνιες

Ισογώνιες

Re: Ισογώνιες

Re: Ισογώνιες

Re: Ισογώνιες

Re: Ισογώνιες

Re: Ισογώνιες

Re: Ισογώνιες

Μέλη σε σύνδεση