Εύρεση γωνίας

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εύρεση γωνίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Μάιος 29, 2018 7:51 am

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC\,(AB = AC,\,\angle A = {100^ \circ }) και εσωτερικό του σημείο K, τέτοιο ώστε \angle KBA = {10^ \circ },\angle KAB = {75^ \circ }. Να βρείτε τη γωνία x = \angle KCA


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εύρεση γωνίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 29, 2018 9:17 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 7:51 am
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC\,(AB = AC,\,\angle A = {100^ \circ }) και εσωτερικό του σημείο K, τέτοιο ώστε \angle KBA = {10^ \circ },\angle KAB = {75^ \circ }. Να βρείτε τη γωνία x = \angle KCA
Καλημέρα Μιχάλη!

Έστω P σημείο στην προέκταση της BK, ώστε PK=PA.

Είναι \widehat{AKP}=75^\circ+10^\circ=85^\circ \Rightarrow \widehat{KAP}=\widehat{AKP}=85^\circ, και με απλό angle-chasing βρίσκουμε όλες τις γωνίες του σχήματος.

Έτσι, \widehat{ABP}=\widehat{APB}=10^\circ \Rightarrow AB=AC=AP, άρα \vartriangle ACP ισοσκελές, και αφού \widehat{CAP}=60^\circ \Rightarrow \vartriangle CAP ισόπλευρο. Επομένως, PK=PA=PC \Rightarrow P περίκεντρο του \vartriangle KAC.

Αυτό δίνει \widehat{APK}=2\widehat{ACK} \Rightarrow 10^\circ=2x \Rightarrow \boxed{x=5^\circ}.
gonia-Nannos.png
gonia-Nannos.png (24.05 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση γωνίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 29, 2018 9:41 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 7:51 am
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC\,(AB = AC,\,\angle A = {100^ \circ }) και εσωτερικό του σημείο K, τέτοιο ώστε \angle KBA = {10^ \circ },\angle KAB = {75^ \circ }. Να βρείτε τη γωνία x = \angle KCA
Καλημέρα σε όλους!
Γωνία.Μ.Ν.png
Γωνία.Μ.Ν.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Έστω O το περίκεντρο του τριγώνου KBC. Τότε, \displaystyle C\widehat OK = 2C\widehat BK = {60^0}, άρα το KOC είναι ισόπλευρο

κι επειδή \displaystyle O\widehat AK = C\widehat AK = {25^0} \Rightarrow AO = AC = AB, οπότε το A είναι περίκεντρο του OBC.

Εύκολα τώρα \displaystyle B\widehat CO = {25^0} \Leftrightarrow K\widehat CB = {35^2} και \boxed{K\widehat CA=5^0}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6600
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση γωνίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 29, 2018 11:28 am

Εύρεση γωνίας.png
Εύρεση γωνίας.png (39.26 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

Αν S το σημείο τομής της BK με το ύψος AM του τριγώνου ABC , αβίαστα

προκύπτει ότι το K είναι το έγκεντρο του τριγώνου ASC


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση γωνίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 29, 2018 11:33 am

Doloros έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 11:28 am
Εύρεση γωνίας.png


Αν S το σημείο τομής της BK με το ύψος AM του τριγώνου ABC , αβίαστα

προκύπτει ότι το K είναι το έγκεντρο του τριγώνου ASC
Πολύ μου άρεσε!!! :clap2:


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εύρεση γωνίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 29, 2018 12:22 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 11:28 am
Εύρεση γωνίας.png

Αν S το σημείο τομής της BK με το ύψος AM του τριγώνου ABC , αβίαστα

προκύπτει ότι το K είναι το έγκεντρο του τριγώνου ASC
:notworthy: Υποκλινόμαστε στον Μάστορα!


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες