Από τρίγωνο σε τραπέζιο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3577
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Από τρίγωνο σε τραπέζιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 19, 2018 12:14 pm

Μία που πέτυχα σήμερα σε περιοδικό της ΕΜΕ ...

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB \Gamma} με \hat{\rm A}=90^\circ και \hat{\rm B}= 30^\circ. Έστω {\rm M} και {\rm N} τα μέσα των πλευρών \mathrm{AB} και \mathrm{A \Gamma} αντίστοιχα και \mathrm{K} μέσο του \mathrm{MN}.
  1. Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο \mathrm{MN \Gamma B} είναι τραπέζιο. Είναι ισοσκελές;
  2. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου \mathrm{AMN}.
  3. Να δειχθεί ότι \mathrm{MN} = \mathrm{A \Gamma}.
  4. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο \mathrm{AKN} είναι ισόπλευρο και ισχύει \displaystyle \mathrm{AK} = \frac{\mathrm{B \Gamma}}{4}.
  5. Να δειχθεί ότι η διάμεσος \mu του τραπεζίου \mathrm{MN \Gamma B} είναι τριπλάσια του ευθυγράμμου τμήματος \mathrm{AK}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 314
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Από τρίγωνο σε τραπέζιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Ιουν 20, 2018 5:25 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 12:14 pm
Μία που πέτυχα σήμερα σε περιοδικό της ΕΜΕ ...

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB \Gamma} με \hat{\rm A}=90^\circ και \hat{\rm B}= 30^\circ. Έστω {\rm M} και {\rm N} τα μέσα των πλευρών \mathrm{AB} και \mathrm{A \Gamma} αντίστοιχα και \mathrm{K} μέσο του \mathrm{MN}.
  1. Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο \mathrm{MN \Gamma B} είναι τραπέζιο. Είναι ισοσκελές;
  2. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου \mathrm{AMN}.
  3. Να δειχθεί ότι \mathrm{MN} = \mathrm{A \Gamma}.
  4. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο \mathrm{AKN} είναι ισόπλευρο και ισχύει \displaystyle \mathrm{AK} = \frac{\mathrm{B \Gamma}}{4}.
  5. Να δειχθεί ότι η διάμεσος \mu του τραπεζίου \mathrm{MN \Gamma B} είναι τριπλάσια του ευθυγράμμου τμήματος \mathrm{AK}.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Από τρίγωνο σε τραπέζιο.png
Από τρίγωνο σε τραπέζιο.png (53.7 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
(i) M,N: μέσα των AB, A\Gamma αντιστοίχως.
Άρα MN=//\dfrac{B\Gamma }{2}. Συνεπώς MN\GammaB : τραπέζιο.
Στο τρίγωνο AB\Gamma είναι \hat{\rm B}= 30^\circ και \hat{\rm \Gamma}= 60^\circ .
Επομένως AB\neq A\Gamma \Leftrightarrow \dfrac{AB}{2}=MB\neq N\Gamma =\dfrac{A\Gamma }{2}.
Άρα το τραπέζιο δεν είναι ισοσκελές .
(ii) \widehat{AMN}=\widehat{B}=30^o ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων MN,B\Gamma που τέμνονται από την BM .
\widehat{ANM}=\widehat{\Gamma}=60^o ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων MN,B\Gamma που τέμνονται από την  \Gamma N .
(iii) Είναι A\Gamma =\dfrac{B\Gamma }{2}, επειδή η απέναντί της γωνία είναι \widehat{B}=30^o στο ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma .
Άρα MN=\dfrac{B\Gamma }{2}=A\Gamma .
(iv) Στο ορθογώνιο τρίγωνο AMN η AK : διάμεσος .Συνεπώς AK=\dfrac{MN }{2}=KN .
Άρα το τρίγωνο AKN είναι ισοσκελές και επειδή από το (ii) \widehat{ANM}=60^o συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο AKN είναι ισόπλευρο.
Επίσης AK=\dfrac{MN}{2}= \dfrac{\frac{B\Gamma }{2}}{2}=\dfrac{B\Gamma }{4} .
(v) Ισχύει \mu =\dfrac{MN+B\Gamma }{2}=\dfrac{2AK+4AK}{2}=\dfrac{6AK}{2}=3AK .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης