Παράλληλες

Xriiiiistos · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

τα ύψη των πλευρών AB,AC

αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC

στο

είναι παράλληλη στην

. Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.

#2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:04 pm
Δίνεται τρίγωνο με τα ύψη των πλευρών αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του στο είναι παράλληλη στην . Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.

Είναι το θεώρημα του $\color{blue}Nagel$

#3

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:04 pm
Δίνεται τρίγωνο με τα ύψη των πλευρών αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του στο είναι παράλληλη στην . Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.

Άλλη μία, διαφορετική από αυτές που βρίσκονται στην παραπομπή. Θα στηριχτώ στην πρόταση:

Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές τριγώνου, είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.

: Παράλληλες ευθείες..png (16.97 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Φέρνω την εφαπτομένη στο

Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση είναι DE||KL

( ενώνει τα μέσα των πλευρών

του τριγώνου HKL

). Αλλά, $\displaystyle A\widehat KL = A\widehat BL = {90^0} - \widehat A = A\widehat CK = x\widehat AK \Leftrightarrow$ $\boxed{Ax||KL||DE}$

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 1.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Δεν γνωρίζω αν η παρακάτω λύση υπάρχει στη παραπομπή που αναφέρει ο Γιώργος.

Έστω $\angle EAO=\varphi$ και $\angle DEA=\omega$ . Αρκεί να δείξω ότι $\varphi +\omega =90^{0}$ .

Προεκτείνω την

και ονομάζω

το σημείο τομής με τον κύκλο. Φέρνω και το τμήμα

.

Προφανώς $\angle PBA=90^{0}$ και $\angle DCB=\omega \Rightarrow \angle APB=\omega$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο PBA

, έπεται ότι $\varphi +\omega =90^{0}$ .

#5

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:04 pm
Δίνεται τρίγωνο με τα ύψη των πλευρών αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του στο είναι παράλληλη στην . Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.

Αν

είναι τα μέσα των AB,AC

αντίστοιχα (προφανώς $OM\bot AB,ON\bot AC$ τότε από το εγγράψιμο τετράπλευρο $EBCD \Rightarrow AE \cdot AB = AD \cdot AC \Rightarrow$ $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AM}} \Rightarrow AO \bot ED$ από όπου προκύπτει η παραλληλία της εφαπτόμενης του κύκλου στο

με την

Παράλληλες

Παράλληλες

Re: Παράλληλες

Re: Παράλληλες

Re: Παράλληλες

Re: Παράλληλες

Μέλη σε σύνδεση