Παράλληλες

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Παράλληλες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Αύγ 12, 2018 2:04 pm

Δίνεται τρίγωνο ABC με CD,BE τα ύψη των πλευρών AB,AC αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC στο A είναι παράλληλη στην DE. Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράλληλες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Αύγ 13, 2018 12:11 am

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:04 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με CD,BE τα ύψη των πλευρών AB,AC αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC στο A είναι παράλληλη στην DE. Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.

Είναι το θεώρημα του \color{blue}Nagel


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράλληλες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Αύγ 13, 2018 10:42 am

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:04 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με CD,BE τα ύψη των πλευρών AB,AC αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC στο A είναι παράλληλη στην DE. Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.
Άλλη μία, διαφορετική από αυτές που βρίσκονται στην παραπομπή. Θα στηριχτώ στην πρόταση:

Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές τριγώνου, είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.
Παράλληλες ευθείες..png
Παράλληλες ευθείες..png (16.97 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Φέρνω την εφαπτομένη στο A. Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση είναι DE||KL ( ενώνει τα μέσα των πλευρών

του τριγώνου HKL). Αλλά, \displaystyle A\widehat KL = A\widehat BL = {90^0} - \widehat A = A\widehat CK = x\widehat AK \Leftrightarrow \boxed{Ax||KL||DE}


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1011
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Παράλληλες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Αύγ 14, 2018 10:41 pm

1.png
1.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές


Δεν γνωρίζω αν η παρακάτω λύση υπάρχει στη παραπομπή που αναφέρει ο Γιώργος.

Έστω \angle EAO=\varphi και \angle DEA=\omega . Αρκεί να δείξω ότι \varphi +\omega =90^{0}.

Προεκτείνω την AO και ονομάζω P το σημείο τομής με τον κύκλο. Φέρνω και το τμήμα BP.

Προφανώς \angle PBA=90^{0} και \angle DCB=\omega \Rightarrow \angle APB=\omega .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο PBA, έπεται ότι \varphi +\omega =90^{0}.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3820
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παράλληλες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Αύγ 14, 2018 10:55 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 2:04 pm
Δίνεται τρίγωνο ABC με CD,BE τα ύψη των πλευρών AB,AC αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC στο A είναι παράλληλη στην DE. Ας μείνει κλειστό για τους μαθητές μέχρι την νύχτα.
Αν M,N είναι τα μέσα των AB,AC αντίστοιχα (προφανώς OM\bot AB,ON\bot AC τότε από το εγγράψιμο τετράπλευρο EBCD \Rightarrow AE \cdot AB = AD \cdot AC \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AM}} \Rightarrow AO \bot ED από όπου προκύπτει η παραλληλία της εφαπτόμενης του κύκλου στο A με την DE


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης