Τετράπλευρο-10.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1011
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο-10.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Αύγ 12, 2018 6:53 pm

1.png
1.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1317
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο-10.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Αύγ 13, 2018 3:53 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Αύγ 12, 2018 6:53 pm
1.png

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .
Καλησπέρα Φάνη.

Έστω O το περίκεντρο του τριγώνου BDC. Έστω επίσης K \equiv BO \cap AC. Τότε, ισχύει \angle BOD=2\angle BCD=168^\circ. Επίσης, ισχύει OB=OD, άρα \angle DBO=6^\circ.

Έστω P \equiv DK \cap BC. Τότε, παρατηρούμε ότι :

\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{(BDP)}{(PDC)}=\dfrac{BD \cdot \sin \angle BDP}{DC \cdot \sin \angle PDC}=\dfrac{\sin 84^\circ}{\sin 30^\circ} \cdot \dfrac{\sin \angle BDP}{\sin \angle PDC} (1).

Επίσης, \dfrac{BK}{KC}=\dfrac{\sin \angle BDK}{\sin \angle KDC} \cdot \dfrac{\sin 12^\circ}{\sin 6^\circ} (2).

Όμως, \dfrac{\sin 84^\circ}{\sin 30^\circ}=2\cos 6^\circ=\dfrac{\sin 12^\circ}{\sin 6^\circ}, άρα από (1), (2) συμπεραίνουμε ότι \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{BK}{KC}. Άρα, η KP είναι διχοτόμος της γωνίας \angle BKC. Έτσι, \angle BKP=\angle PKC \Rightarrow \angle BDK+6^\circ=66^\circ-\angle BDK+12^\circ  \Rightarrow \angle BDK=36^\circ.

Επίσης, είναι \angle BAK=180^\circ-\angle ABC-\angle ACB=36^\circ=\angle BDK, επομένως το ABKD είναι εγγράψιμο, άρα \angle DAC=\angle DBO=6^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=6^\circ}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο-10.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 14, 2018 1:26 am

τετράπλευρο 10 Φάνης_αλλιώς.png
τετράπλευρο 10 Φάνης_αλλιώς.png (54.09 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές
Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC , έστω K το κέντρο του και E το σημείο τομής της προέκτασης της CD μ αυτόν.

Τότε \widehat {ABE} = 12^\circ και η BD διχοτόμος του \vartriangle BEC οπότε θα τέμνει το κύκλο στο νότιο πόλο S.

Επειδή δε \widehat {BEC} = 60^\circ τα τμήματα KS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE τέμνονται δίχα και κάθετα.

Μα τότε το τρίγωνο DKS \to (132^\circ ,24^\circ ,24^\circ ) και άρα

\widehat {BDK} = 48^\circ  \Rightarrow DK \bot AB \Rightarrow \boxed{DA = DB}. Δηλαδή \widehat \theta  + 36^\circ  = 12^\circ  + 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = 6^\circ }.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1011
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράπλευρο-10.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Αύγ 15, 2018 1:08 pm

1.png
1.png (30.66 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές



Χρόνια Πολλά σε όλους.

Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου DBC, του οποίου το κέντρο ονομάζω O και φέρνω τα

τμήματα OB, OD, OC. Έστω P\equiv BO\cap AC. Φέρνω και το τμήμα DP. Προφανώς το

τρίγωνο DOC είναι ισόπλευρο. Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν πολύ εύκολα.

Οπότε \angle POC=48^{0}. Άρα \triangle PDO=\triangle PDC\Rightarrow \angle PDO=30^{0}.

Παρατηρώ ότι το ABPD είναι εγγράψιμο (αφού η BP φαίνεται από τις κορυφές του A και D

υπό ίσες γωνίες 36^{0})\Rightarrow \theta =6^{0}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης