Γωνία με κορυφή το έγκεντρο

#1

: Γωνία με κορυφή το έγκεντρο.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Σε τρίγωνο ABC

οι διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται στο

.

Αν $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα περίκεντρα των $\vartriangle IEB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle IDC$ δείξετε ότι η γωνία $\widehat {KIL}$ είναι παραπληρωματική της γωνίας $\widehat A$ .

Μου προέκυψε απρόσμενα . Η απάντηση απλή .

Altrian · #2

$\large \widehat{EKI}=2*\widehat{B}/2=\widehat{B}.$ Αρα $\large \widehat{EIK}=90-\widehat{B}/2$
Ομοίως $\large \widehat{DIL}=90-\widehat{C}/2$ . Επίσης είναι γνωστό ότι $\large \widehat{EID}=\widehat{BIC}=90+\widehat{A}/2$
Αρα $\large \widehat{KIL}=360-\widehat{EIK}-\widehat{EID}-\widehat{DIL}=180-\widehat{A}$

#3

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 30, 2018 11:42 am
Γωνία με κορυφή το έγκεντρο.png

Σε τρίγωνο οι διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται στο .

Αν $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα περίκεντρα των $\vartriangle IEB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle IDC$ δείξετε ότι η γωνία $\widehat {KIL}$ είναι παραπληρωματική της γωνίας $\widehat A$ .

Μου προέκυψε απρόσμενα . Η απάντηση απλή .

: Γ.Ε.Φ.png (19.56 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

$\displaystyle K\widehat IL = \omega + B\widehat IC - \varphi = \left( {{{90}^0} - \frac{{I\widehat KB}}{2}} \right) + \left( {{{90}^0} + \frac{{\widehat A}}{2}} \right) - \left( {{{90}^0} - \frac{{I\widehat LC}}{2}} \right) =$

$\displaystyle - B\widehat EC + {90^0} + \frac{{\widehat A}}{2} + A\widehat DB = - \widehat A - \frac{{\widehat C}}{2} + {90^0} + \frac{{\widehat A}}{2} + \widehat C + \frac{{\widehat B}}{2} = {180^0} - \widehat A$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 30, 2018 11:42 am
Γωνία με κορυφή το έγκεντρο.png

Σε τρίγωνο οι διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται στο .

Αν $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα περίκεντρα των $\vartriangle IEB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle IDC$ δείξετε ότι η γωνία $\widehat {KIL}$ είναι παραπληρωματική της γωνίας $\widehat A$ .

Μου προέκυψε απρόσμενα . Η απάντηση απλή .

Το παραπάνω συμπέρασμα Νίκο ,είναι αληθές για οποιεσδήποτε σεβιανές $\displaystyle BD,CE$

Έστω $\displaystyle Z$ το δεύτερο σημείο τομής των δυο κύκλων

Είναι , $\displaystyle \angle BEZ = \angle BIZ = \angle ACZ \Rightarrow A,E,Z,C$ ομοκυκλικά,άρα $\displaystyle \angle EZC = {180^0} - A$

Όμως , $\displaystyle \angle IBZ = \angle IEZ = \angle IKL$ και $\displaystyle \angle ILK = \angle ICZ$ οπότε

$\displaystyle \vartriangle IKL \simeq \vartriangle EZC \Rightarrow \boxed{\angle KIL = \angle EZC = {{180}^0} - A}$

: γωνία με κορυφή την τομή δυο σεβιανών.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

#5

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 31, 2018 12:02 am

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 30, 2018 11:42 am
Γωνία με κορυφή το έγκεντρο.png

Σε τρίγωνο οι διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται στο .

Αν $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα περίκεντρα των $\vartriangle IEB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle IDC$ δείξετε ότι η γωνία $\widehat {KIL}$ είναι παραπληρωματική της γωνίας $\widehat A$ .

Μου προέκυψε απρόσμενα . Η απάντηση απλή .

Το παραπάνω συμπέρασμα Νίκο ,είναι αληθές για οποιεσδήποτε σεβιανές $\displaystyle BD,CE$

Ναι έχεις δίκιο Μιχάλη .

Γωνία με κορυφή το έγκεντρο

Γωνία με κορυφή το έγκεντρο

Re: Γωνία με κορυφή το έγκεντρο

Re: Γωνία με κορυφή το έγκεντρο

Re: Γωνία με κορυφή το έγκεντρο

Re: Γωνία με κορυφή το έγκεντρο

Μέλη σε σύνδεση