Εγγραφή ισοπλεύρου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εγγραφή ισοπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 13, 2018 12:45 pm

Εγγραφή ισοπλεύρου.png
Εγγραφή ισοπλεύρου.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές
Έστω D το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC. Να εντοπίσετε σημεία E, Z των πλευρών

AC, AB ώστε το τρίγωνο DEZ να είναι ισόπλευρο. Είναι πάντα εφικτή η κατασκευή;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγραφή ισοπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 26, 2018 5:50 pm

Επαναφορά (και ίσως γενίκευση;)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εγγραφή ισοπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 26, 2018 7:08 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Οκτ 26, 2018 5:50 pm
Επαναφορά (και ίσως γενίκευση;)
Είναι σίγουρο ότι δεν γίνεται πάντα η κατασκευή.Επίσης το ότι το D είναι μέσο δεν παίζει κανένα ρόλο.Η κατασκευή γίνεται κάνοντας μια στροφή κατά \frac{\pi }{3}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εγγραφή ισοπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 30, 2018 9:19 am

Αφού έμεινε ας γράψω κάποια πράγματα.
Στο σχήμα του Γιώργου
Θεωρώ το D οποιοδήποτε σημείο της BC.
Αν \angle A\neq 120
τότε πάντα υπάρχουν τα E ,Z πάνω στις ευθείες που ορίζουν οι AC,AB.
Σε αρκετές περιπτώσεις βρίσκονται στις πλευρές AC,AB.
Από το D φέρουμε την κάθετο DK στην AC.
Φτιάχνουμε το ισόπλευρο τρίγωνο DKT (κατά την θετική φορά).
Στο T φέρουμε ευθεία κάθετη στην DT.
Επειδή είναι \angle A\neq 120 αυτή τέμνει την ευθεία που ορίζει η AB εστω στο Z.
Ο κύκλος (D,DZ) τέμνει την ευθεία που ορίζει η AC στο E.
Η ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων DZT και DEK
μας δίνει ότι το DZE είναι ισόπλευρο.

Αν \angle A=120 το πρόβλημα έχει λύση αν και μόνο αν η AD είναι διχοτόμος.

Η διερεύνηση κατά πόσο τα E Z βρίσκονται πάνω AC,AB μπορεί να γίνει αν χρησιμοποιήσουμε
τριγωνομετρία


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγραφή ισοπλεύρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 31, 2018 11:44 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Οκτ 26, 2018 7:08 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Οκτ 26, 2018 5:50 pm
Επαναφορά (και ίσως γενίκευση;)
Είναι σίγουρο ότι δεν γίνεται πάντα η κατασκευή.Επίσης το ότι το D είναι μέσο δεν παίζει κανένα ρόλο.Η κατασκευή γίνεται κάνοντας μια στροφή κατά \frac{\pi }{3}
Σ' ευχαριστώ Σταύρο για τη λύση. Πράγματι, το D δεν χρειάζεται να είναι μέσο. Μπήκε όμως έτσι, για να στηρίξω την κατασκευή σε μία άλλη άσκηση. Κάποια στιγμή θα την ανεβάσω.


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1998
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Εγγραφή ισοπλεύρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Οκτ 31, 2018 7:46 pm

Είχα δώσει παλιότερα μία λύση στο mathlinks.ro φόρουμ, αλλά δεν μπορώ να το βρω.

Το σκεπτικό ήταν το εξής: ( γενικεύοντας, για την κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle DEZ με DE = DZ και γνωστή \angle EDZ = \angle \omega )
f20 t62771.png
Εγγραφή ισοπλεύρου.
f20 t62771.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 42 φορές
\bullet Επί ευθείας Dx τέτοιας ώστε \angle ADx = \angle \omega λαμβάνουμε σημείο F ώστε να είναι DF = DA και ας είναι Z το σημείο επί της AB , ώστε να είναι \angle DFZ = \angle DAC .

Επί της AC λαμβάνουμε το σημείο E ώστε να είναι AE = FZ και το τρίγωνο \vartriangle DEZ είναι το ζητούμενο, με DE = DZ και \angle EDZ = \angle \omega , όπως προκύπτει εύκολα από την ισότητα των τριγώνων \vartriangle DFZ,\ \vartriangle DAE .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Βασική σκέψη στο στάδιο της ανάλυσης, είναι η στροφή του τριγώνου \vartriangle DAE περί το σημείο D κατά γωνία \angle \omega . Η διερεύνηση είναι απολύτως απαραίτητη για την πληρότητα της λύσης σε προβλήματα κατασκευής, αλλά στο περιβάλλον ενός φόρουμ κυριαρχούν οι αποδεικτικές προτάσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης