Ισότητα τριγώνων

ann79 · #1

Δίνονται τα τρίγωνα ABC,A'B'C'

με $\upsilon _{a}=\upsilon _{a'}, \delta _{a}=\delta _{a'},$ και τις γωνίες B,B'

ίσες. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα είναι ίσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 07, 2018 10:10 am
Δίνονται τα τρίγωνα με $\upsilon _{a}=\upsilon _{a'}, \delta _{a}=\delta _{a'},$ και τις γωνίες ίσες. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα είναι ίσα.

Είναι ίσα.

Γράφω απόδειξη στην περίπτωση που $\angle B< 1^{L}$

Παρόμοια είναι όταν $\angle B> 1^{L}$

Εστω AH,A'H'

τα ύψη και AD,A'D'

οι διχοτόμοι.

Τα ορθογώνια τρίγωνα AHB

και

είναι ίσα.

Αρα AB=A'B'

και $\angle BAH=\angle B'A'H'$

Επίσης τα ορθογώνια τρίγωνα HAD

και

είναι ίσα.

Αρα $\angle HAD=\angle H'A'D'$

Συμπεραίνουμε ότι $\angle \frac{A}{2}=\angle BAH+\angle HAD=\angle B'A'H'+\angle H'A'D'=\angle \frac{A'}{2}$

Δηλαδή $\angle A=\angle A'$

Από ΓΠΓ κριτήριο τα τρίγωνα είναι ίσα.

Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάζεται το αξίωμα των παραλλήλων.

#3

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 07, 2018 10:10 am
Δίνονται τα τρίγωνα με $\upsilon _{a}=\upsilon _{a'}, \delta _{a}=\delta _{a'},$ και τις γωνίες ίσες. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα είναι ίσα.

Με πρόλαβαν

Αν $AK,\,\,A'K'\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD,\,\,A'D'$ τα ύψη και οι διχοτόμοι στα δύο τρίγωνα είναι δε $\widehat {\theta \,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega$ συμπληρώματα των δεδομένων ίσων γωνιών , θα ισχύουν:

1. $\vartriangle AKD = \vartriangle A'K'D'$ ( ορθογώνια με υποτείνουσες ίσες και μια κάθετη πλευρά του ενός ίση με μια κάθετη πλευρά του άλλου )

2. $\vartriangle AKB = \vartriangle A'K'B'$ ( ορθογώνια με μια κάθετη πλευρά και μια προσκείμενη οξεία γωνία, ίσες μια προς μια )

: Ισότητα τριγώνων.png (25.29 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Από την πρώτη ισότητα έχω $\widehat {KAD} = \widehat {K'A'D'}$ και άρα $\widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}$ δηλαδή

$\dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{\widehat {B'A'C'}}}{2} \Leftrightarrow \boxed{\widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'}}\,\,(1)$ , ενώ από τη δεύτερη $\boxed{AB = A'B'}\,\,\,(2)$ ισχύει δε από την υπόθεση : $\boxed{\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}}\,\,\,(3)$

Τα αρχικά τρίγωνα τώρα λόγω των $(1)\,\,,\,\,(2)\,\,,\,\,(3)$ και του κριτηρίου $\Gamma - \Pi - \Gamma$ θα είναι ίσα.

Το αριστερό τρίγωνο έχει κατασκευαστεί με δεδομένα το ύψος και τη διχοτόμο από το

και τη γωνία του στο

. Λόγω δε του μονοσήμαντου

της κατασκευής τα τρίγωνα έιναι ίσα . Θεώρησα δε ότι οι ίσες γωνίες είναι οξείες

Ισότητα τριγώνων

Ισότητα τριγώνων

Re: Ισότητα τριγώνων

Re: Ισότητα τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση