Χαμένη γωνία

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10541
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χαμένη γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 05, 2019 12:54 pm

Χαμένη  γωνία.png
Χαμένη γωνία.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
\bigstar Υπολογίστε τη γωνία \theta που σχηματίζει η διαγώνιος DB με την πλευρά DA .



Λέξεις Κλειδιά:
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 50
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Χαμένη γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τρί Μαρ 05, 2019 11:13 pm

Γειά σας!
Απο το A φέρω παράλληλη στην BC που τέμνει την DC στο T.
Έστω B' το συμμετρικό του B με κέντρο συμμετρίας το A, οπότε έχουμε το ισοσκελές τρίγωνο BB'C, στο οποίο \widehat{BB'C}=\widehat{BCB'}=\dfrac{180-108}{2}=36^{\circ}.
Έστω L και K τα σημεία τομής της AT με τις B'C και DB αντίστοιχα.

Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCT έχουμε \widehat{LCT}=108-36=72^{\circ} και \widehat{BAT}=\widehat{ATC}=72^{\circ} άρα το τρίγωνο CLT είναι ισοσκελές.
Απο τα L κα K φέρω παράλληλες στις AB και TC αντίστοιχα, οπότε σχηματίζονται τα παραλληλόγραμμα ABML και KMCT στα οποία LM=AB=TC=KM=\alpha Οπότε έχουμε LT=\alpha +LK=AK.
Τα τρίγωνα λοιπόν ABK και LCT έχουν LT=AK, LT=AK,AB=CT και \widehat{BAT}=\widehat{CTA}=72^{\circ} ίσα, άρα \widehat{ABD}=\widehat{LCT}=72^{\circ}\Rightarrow \vartheta =90-72=18^{\circ}
Συνημμένα
Capture01.PNG
Capture01.PNG (50.16 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6425
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χαμένη γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 09, 2019 3:07 am

Χαμένη γωνία.png
Χαμένη γωνία.png (32.83 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Έστω M το μέσο του BC και K το σημείο τομής των ευθειών AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC.

Αβίαστα προκύπτουν τα παρακάτω:

α) Το \vartriangle BMA \to (108^\circ ,36^\circ ,36^\circ )

β) Το \vartriangle MKC \to (36^\circ ,72^\circ ,72^\circ ), ενώ το \vartriangle MBK \to (144^\circ ,18^\circ ,18^\circ )

γ) Αφού δε η διάμεσος KM = MB = MC το \vartriangle KBC είναι ορθογώνιο στο K και

δ) Το τεράπλευρο ABKD είναι εγγράψιμο , συνεπώς \boxed{\widehat \theta  = \widehat \omega  = 18^\circ }


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1782
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Χαμένη γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Μαρ 14, 2019 11:39 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 05, 2019 12:54 pm
Χαμένη γωνία.png\bigstar Υπολογίστε τη γωνία \theta που σχηματίζει η διαγώνιος DB με την πλευρά DA .
Το τρίγωνο OBC είναι ισοσκαλές με OB=OC Ακόμη AB=BM=MC=MT\Rightarrow \hat{BTC}=90^{0},\hat{TAO}=\hat{TOA}=36^{0},AT=TO=TD
Συνεπως BT\perp OD,OT=TD,BD=BO\Rightarrow 54-\theta =36^{0}\Leftrightarrow \theta =18^{0}


Γιάννης
Συνημμένα
Χαμένη γωνία.png
Χαμένη γωνία.png (108.04 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Χαμένη γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Μαρ 15, 2019 8:55 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ομολογώ ότι η παρακάτω λύση είναι ανιαρή, προβλέψιμη, τετριμμένη, τριγωνομετρική.

Όμως, γλυτώνω τον κόπο να κάνω νέο σχήμα! :D

Παίρνω το σχήμα του Θανάση, δεν πειράζω τίποτα και βρίσκω τη χαμένη γωνία.



Χαμένη  γωνία.png
Χαμένη γωνία.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Είναι  \displaystyle 0 < \theta  < 54^\circ .

Στο DAB είναι  \displaystyle BD = \frac{a}{{\eta \mu \theta }} . Στο BDC είναι  \displaystyle BD = \frac{{2a\eta \mu 108^\circ }}{{\eta \mu \left( {54^\circ  - \theta } \right)}} , οπότε

 \displaystyle \frac{1}{{\eta \mu \theta }} = \frac{{2\eta \mu 108^\circ }}{{\eta \mu \left( {54^\circ  - \theta } \right)}} \Leftrightarrow \eta \mu \left( {54^\circ  - \theta } \right) = 2\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu 18^\circ

 \displaystyle  \Leftrightarrow \eta \mu 54^\circ \sigma \upsilon \nu \theta  - \sigma \upsilon \nu 54^\circ \eta \mu \theta  = 2\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu 18^\circ

 \displaystyle  \Leftrightarrow \sigma \varphi \theta  = \frac{{2\sigma \upsilon \nu 18^\circ  + \sigma \upsilon \nu 54^\circ }}{{\eta \mu 54^\circ }} = \frac{{ - \sigma \upsilon \nu 18^\circ  + 4\sigma \upsilon {\nu ^3}18^\circ }}{{3\eta \mu 18^\circ  - 4\eta {\mu ^3}18^\circ }} = \sigma \varphi 18^\circ \frac{{4\sigma \upsilon {\nu ^2}18^\circ  - 1}}{{3 - 4\eta {\mu ^2}18^\circ }}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \sigma \varphi \theta  = \sigma \varphi 18^\circ \frac{{4 - 4\eta {\mu ^2}18^\circ  - 1}}{{3 - 4\eta {\mu ^2}18^\circ }} \Leftrightarrow \sigma \varphi \theta  = \sigma \varphi 18^\circ  \Leftrightarrow \theta  = 18^\circ .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης