Τρίγωνο-119.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-119.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Μαρ 31, 2019 6:26 pm

1.png
1.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές


Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές (όχι ισόπλευρο) με AB=AC.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6602
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο-119.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 31, 2019 10:32 pm

Λήμμα:

Έστω ABC ισοσκελές τρίγωνο ( AB = AC) και AM το ύψος του. Φέρνω τη διχοτόμο της \widehat {MAC} και μια ευθεία δια του A που την τέμνει στο S.

Αν \widehat {SBC} = 30^\circ τότε και \widehat {ASC} = 30^\circ .


Έστω τώρα ότι η AS τέμνει την BC στο Z και η διχοτόμος της \widehat {BAM} τέμνει τη BC στο E και την BS στο T.

Στο \vartriangle ZBS η εξωτερική \widehat {{\gamma _1}} = 30^\circ  + \widehat \eta  = \widehat \xi  + \widehat \eta \,\,\,(1) . Αλλά προφανώς :

\widehat {{\gamma _1}} = \widehat {{\gamma _2}} = \widehat {{\gamma _3}} οπότε λόγω της (1) , \boxed{\widehat {{\gamma _3}} = \widehat \xi  + \widehat \eta \,} που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο ETSC είναι εγγράψιμο.

Τρίγωνο 119_Φανης.png
Τρίγωνο 119_Φανης.png (42.86 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Αν τώρα φέρω στο C ευθεία κάθετη στην CS και κόψει την BS στο D θα είναι ισογώνια τα ορθογώνια τρίγωνα CDS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAE

Συνεπώς : \widehat \omega  = \widehat {{\omega _1}} = \left( {\widehat {BAE} = \widehat {EAM} = \widehat {MAZ} = \widehat {ZAC}} \right) , έτσι το τετράπλευρο ADSC

οπότε \boxed{\widehat \theta  = \widehat \xi  = 30^\circ }

Το λήμμα το αφήνω ως άσκηση αλλιώς αργότερα, το βράδυ ανεβάζω απόδειξη )


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6602
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο-119.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 01, 2019 7:37 pm

Αρχική κατασκευή σχήματος
τρίγωνο 119_κατασκευή.png
τρίγωνο 119_κατασκευή.png (33.38 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές
Θεωρώ τυχαίο ισοσκελές τρίγωνο ABC\,\,(AB = AC) το μέσο M του BC. Η διχοτόμος \widehat {BAM} τέμνει την BC στο E.

Γράφω το κύκλο (A,B,E) και ευθεία που σχηματίζει με την BC γωνία 30^\circ στο αντίθετο ημιεπίπεδο από το A.

Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στο F. Προφανώς \boxed{\widehat {BFE} = \widehat {{\omega _1}} = \frac{1}{4}\widehat {BAC}}.

Φέρνω από το C ευθεία παράλληλη στην EF και συναντά την BF στο D


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τρίγωνο-119.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Απρ 01, 2019 9:49 pm

1.png
1.png (25.86 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές


Προσδιορισμός του σημείου D.

Θεωρώ τυχαίο ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC).

Γράφω το κύκλο (A, AC).

Έστω P το σημείο τομής του κύκλου αυτού με την (\varepsilon ).

Φέρνω τα τμήματα PA, PC.

Προφανώς \angle BPC=\dfrac{\phi }{2}.

Το τρίγωνο APC είναι ισόπλευρο.

Ο κύκλος (P, PA) τέμνει την (\varepsilon ) στο ζητούμενο σημείο D.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες