Τρίγωνο-119.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές (όχι ισόπλευρο) με AB=AC

.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#2

Λήμμα:

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( ) και το ύψος του. Φέρνω τη διχοτόμο της $\widehat {MAC}$ και μια ευθεία δια του που την τέμνει στο .

Αν $\widehat {SBC} = 30^\circ$ τότε και $\widehat {ASC} = 30^\circ$ .

Έστω τώρα ότι η

τέμνει την

στο

και η διχοτόμος της $\widehat {BAM}$ τέμνει τη

στο

και την

στο

.

Στο $\vartriangle ZBS$ η εξωτερική $\widehat {{\gamma _1}} = 30^\circ + \widehat \eta = \widehat \xi + \widehat \eta \,\,\,(1)$ . Αλλά προφανώς :

$\widehat {{\gamma _1}} = \widehat {{\gamma _2}} = \widehat {{\gamma _3}}$ οπότε λόγω της (1)

, $\boxed{\widehat {{\gamma _3}} = \widehat \xi + \widehat \eta \,}$ που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο ETSC

είναι εγγράψιμο.

: Τρίγωνο 119_Φανης.png (42.86 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Αν τώρα φέρω στο

ευθεία κάθετη στην

και κόψει την

στο

θα είναι ισογώνια τα ορθογώνια τρίγωνα $CDS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAE$

Συνεπώς : $\widehat \omega = \widehat {{\omega _1}} = \left( {\widehat {BAE} = \widehat {EAM} = \widehat {MAZ} = \widehat {ZAC}} \right)$ , έτσι το τετράπλευρο ADSC

οπότε $\boxed{\widehat \theta = \widehat \xi = 30^\circ }$

Το λήμμα το αφήνω ως άσκηση αλλιώς αργότερα, το βράδυ ανεβάζω απόδειξη )

#3

Αρχική κατασκευή σχήματος

: τρίγωνο 119_κατασκευή.png (33.38 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

Θεωρώ τυχαίο ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\,(AB = AC)$ το μέσο

του

. Η διχοτόμος $\widehat {BAM}$ τέμνει την

στο

.

Γράφω το κύκλο (A,B,E)

και ευθεία που σχηματίζει με την

γωνία $30^\circ$ στο αντίθετο ημιεπίπεδο από το

.

Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στο

. Προφανώς $\boxed{\widehat {BFE} = \widehat {{\omega _1}} = \frac{1}{4}\widehat {BAC}}$ .

Φέρνω από το

ευθεία παράλληλη στην

και συναντά την

στο

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 1.png (25.86 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Προσδιορισμός του σημείου D.

Θεωρώ τυχαίο ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC)

.

Γράφω το κύκλο (A, AC)

.

Έστω

το σημείο τομής του κύκλου αυτού με την $(\varepsilon )$ .

Φέρνω τα τμήματα PA, PC

.

Προφανώς $\angle BPC=\dfrac{\phi }{2}$ .

Το τρίγωνο APC

είναι ισόπλευρο.

Ο κύκλος (P, PA)

τέμνει την $(\varepsilon )$ στο ζητούμενο σημείο

.

Τρίγωνο-119.

Τρίγωνο-119.

Re: Τρίγωνο-119.

Re: Τρίγωνο-119.

Re: Τρίγωνο-119.

Μέλη σε σύνδεση