Τρίγωνο-120.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-120.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Μάιος 12, 2019 6:46 pm

1.png
1.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρίγωνο-120.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μάιος 12, 2019 11:44 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 6:46 pm
1.png

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .
Φάνη καλησπέρα.

Έστω, ότι το συμμετρικό του C ως προς την AD είναι το K, και L το συμμετρικό του K ως προς την BD.

Τότε, προφανώς K \in AB, αφού \angle KAD=\angle DAC=\angle BAD.

Ακόμη, είναι KD=DC=DL=b, επομένως AL=AD+DEL=a+b=AB \Rightarrow \angle ABL=\angle ALB=\angle DLB=\angle BKD.

Επίσης, \angle KBD=\angle DBL \Rightarrow \angle ABL=2\theta, συνεπώς είναι \angle BKD=2\theta .

Επιπλέον, 60^\circ=\angle ADC=\angle ADK=\angle KDB.

Τελικά, στο τρίγωνο \vartriangle KBD είναι \angle KBD+\angle BKD+\angle KDB=180^\circ \Rightarrow 3\theta+60^\circ=180^\circ \Rightarrow \theta=40^\circ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6602
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο-120.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 13, 2019 3:51 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 11:44 pm
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 6:46 pm
1.png


Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .
Φάνη καλησπέρα.

Έστω, ότι το συμμετρικό του C ως προς την AD είναι το K, και L το συμμετρικό του K ως προς την BD.

Τότε, προφανώς K \in AB, αφού \angle KAD=\angle DAC=\angle BAD.

Ακόμη, είναι KD=DC=DL=b, επομένως AL=AD+DEL=a+b=AB \Rightarrow \angle ABL=\angle ALB=\angle DLB=\angle BKD.

Επίσης, \angle KBD=\angle DBL \Rightarrow \angle ABL=2\theta, συνεπώς είναι \angle BKD=2\theta .

Επιπλέον, 60^\circ=\angle ADC=\angle ADK=\angle KDB.

Τελικά, στο τρίγωνο \vartriangle KBD είναι \angle KBD+\angle BKD+\angle KDB=180^\circ \Rightarrow 3\theta+60^\circ=180^\circ \Rightarrow \theta=40^\circ.
Το σχήμα της εμπνευσμένης λύσης του Ορέστη. :clap2:
τρίγωνο 120_Λύση Ορέστη.png
τρίγωνο 120_Λύση Ορέστη.png (29.67 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
Που με συντομία :

Από το \vartriangle ABD έχω: \widehat \phi  + \widehat \theta  = \widehat {CDA} = 60^\circ \,\,(1)

Από το \vartriangle AKD έχω:

\widehat {BKD} = 2\widehat \theta  = 60^\circ  + \widehat \phi \mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} 2\widehat \theta  = 60^\circ  + (60^\circ  - \widehat \theta ) \Rightarrow 3\widehat \theta  = 120^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = 40^\circ }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης