Το ισοσκελές

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Το ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 05, 2019 10:14 am

Το ισοσκελές.png
Το ισοσκελές.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές
AD είναι το ύψος, O το περίκεντρο και M το μέσο της πλευράς BC οξυγώνιου τριγώνου ABC.

Αν P είναι η προβολή του B στην AO, να δείξετε ότι MP=MD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1154
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Το ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιούλ 05, 2019 10:47 am

Καλημέρα!
Το ισοσκελές.PNG
Το ισοσκελές.PNG (8.96 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές
Υ.Γ Δίνω (εκ των υστέρων ) αιτιολόγηση. Τα τρίγωνα AOB,PMD είναι όμοια αφού

το ABDP είναι εγγράψιμο άρα \widehat{MDP}=\widehat{BAP} , το ίδιο και το POMB οπότε \widehat{PMB}=\widehat{POB}.

Είναι OA=OB=R επομένως και MP=MD. Φιλικά , Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:54 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 05, 2019 11:58 am

Το ισοσκελές.png
Το ισοσκελές.png (30.33 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές
Τα τετράπλευρα ABDP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PBMO είναι εγγράψιμα, ενώ \widehat {BAD} = \widehat {OAC} = \widehat \theta , ως συμπληρώματα ίσων γωνιών .

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat x = \widehat \theta  + \widehat \omega  \hfill \\ 
  \widehat y + \widehat \theta  = \widehat \xi  = \widehat {BAC} = 2\widehat \theta  + \widehat \omega  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat x = \widehat y = \widehat \theta  + \widehat \omega  \Rightarrow MD = MP
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Δευ Ιούλ 08, 2019 1:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1526
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Το ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Ιούλ 05, 2019 3:23 pm

Καλησπέρα σε όλους!

Μία άλλη λύση.

Έστω N το μέσο του AB. Τότε, αφού τα A,B,D,P είναι ομοκυκλικά, προκύπτει NB=NA=ND=NP.

Επίσης, είναι MN \parallel AC και επίσης \angle ADP=\angle ABP=90^\circ-\angle BAO=\angle C=90^\circ-\angle DAC \Rightarrow
\angle ADP+\angle DAC=90^\circ \Rightarrow DP \perp AC.

Συνεπώς, DP \perp AC, MN \parallel AC \Rightarrow NM \perp DP, και αφού NP=ND, η NM είναι μεσοκάθετος της DP, συνεπώς MP=MD.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 05, 2019 6:20 pm

Ας είναι Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E τα αντιδιαμετρικά των A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B. Αβίαστα προκύπτουν:

1. το τρίγωνο ZBE είναι ισοσκελές (διάμεσος και ύψος συμπίπτουν)

2. EC// = 2PM ( Τα M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P μέσα των BC\,\kappa \alpha \iota \,\,BE)

3. Το τετράπλευρο ABDP είναι εγγράψιμο .( Τα D,P βλέπουν υπό ορθή γωνία την πλευρά AB)
Το ισοσκελές_oritzin.png
Το ισοσκελές_oritzin.png (34.21 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές
Έτσι έχω : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{y_1}} = \widehat {{y_2}} \hfill \\ 
  \widehat {{x_1}} = \widehat {{x_2}} = \widehat {{x_3}} = \widehat {{x_4}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{y_1}} = \widehat {{y_2}} \hfill \\ 
  \widehat {{x_1}} = \widehat {{x_4}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Δηλαδή τα τρίγωνα ZBE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MPD είναι ισογώνια κι αφού το ZBE είναι ισοσκελές , κορυφής Z , θα είναι ισοσκελές και το MPD,κορυφής M


Altrian
Δημοσιεύσεις: 198
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Το ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιούλ 05, 2019 7:31 pm

Καλησπέρα σε όλους,
ABDP εγγράψιμο άρα\angle PDM=\angle OAB=\angle OBA. Επίσης PBMO εγγράψιμο άρα \angle MPO=\angle OBM

Αν περιστρέψουμε την \angle AOB γύρω από το O δεξιόστροφα κατά μια γωνία ίση με \angle MPO θα βρεθεί με πλευρές παράλληλες με την \angle PMD\Rightarrow \angle AOB=\angle PMD.

Τώρα το \bigtriangleup MPD είναι ισογώνιο με το ισοσκελές \angle AOB άρα είναι και αυτό ισσκελές δηλ. PM=MD
Συνημμένα
το ισοσκελες.png
το ισοσκελες.png (29.26 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 06, 2019 11:29 am

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Ας δώσω και τη δική μου.
Το ισοσκελές.β.png
Το ισοσκελές.β.png (19.45 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Είναι \displaystyle B\widehat AD = O\widehat AC. Έστω ότι το ημικύκλιο διαμέτρου BC τέμνει την AC στο E. Το ABDPE

είναι προφανώς εγγράψιμο, άρα BD=PE, κι επειδή ME=MB θα είναι και \boxed{MP=MD}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1725
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το ισοσκελές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιούλ 07, 2019 2:32 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιούλ 05, 2019 10:14 am
Το ισοσκελές.png
AD είναι το ύψος, O το περίκεντρο και M το μέσο της πλευράς BC οξυγώνιου τριγώνου ABC.

Αν P είναι η προβολή του B στην AO, να δείξετε ότι MP=MD.
Μια λύση ακόμη..

Η παράλληλη από το \displaystyle C προς την \displaystyle BP τέμνει την κάθετη στην \displaystyle DP στο \displaystyle D στο σημείο \displaystyle Q.

Επειδή \displaystyle PB//CQ και \displaystyle M μέσον της \displaystyle BC\displaystyle PQ περνά από το \displaystyle M

Λόγω και των εγγράψιμων \displaystyle ABDP,ADFC,PDQF,οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, συνεπώς

στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle PDQ θα είναι \displaystyle \boxed{DM = MQ = MP}
ισοσκελές.png
ισοσκελές.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης