Οι δύο γωνίες τριγώνου

#1

: Οι δύο γωνίες τριγώνου.png (6.54 KiB) Προβλήθηκε 1356 φορές

Στο σχήμα η

είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)

#2

Μία τριγωνομετρική εκτός φακέλου. Νόμος ημιτόνων στα τρίγωνα ABM, ACM:

$\displaystyle \frac{{\sin B}}{{\sin 15^\circ }} = \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{\sin (135^\circ - B)}}{{\sin 30^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\sin B + \cos B)$

Διαιρώ με με $\displaystyle \cos B,$ $\displaystyle 2\tan B = (\sqrt 3 - 1)\tan B + \sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow \tan B = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat B=30^\circ}$ και $\boxed{\widehat C=105^\circ}$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #3

Καλησπέρα!
Απο το

φέρω $BL\perp AH \,\,\, \kappa \alpha \iota \,\,\,BK\perp AC$ που τέμνονται στο

, ενώ $P\equiv BL\cap AC$ . Τώρα έχουμε τις γωνίες $\widehat{KBA}=45^{\circ}\,\,,\,\widehat{LBK}=30^{\circ}\,\,\left ( ABLK\,\, \epsilon \gamma \gamma\rho \alpha \right\psi \iota \mu o )\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat{BPA}=60^{\circ}$ . Το

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ABP

, οπότε $PH\perp AB$ , ενώ $N\equiv PH\cap AB$ . Είναι $\widehat{NPK}=45^{\circ}= \widehat{KBN}$ , οποτε το τετράπλευρο BNKP

είναι εγγράψιμο, άρα $\widehat{NKB}=\widehat{BPN}=45^{\circ}$ . Το τρίγωνο BMK

είναι ισοσκελές, αφού

διάμεσος που βαίνει στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου BKC

, άρα $\widehat{KBC}=\widehat{BKM}=15^{\circ}$ , άρα $\widehat{ABC}=45-15=30^{\circ}$ και $\widehat{ACB}=180-45-30=105^{\circ}$ .

: Οι δύο γωνίες τριγώνου.PNG (42.68 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 1.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 1290 φορές

Με πλευρά την

κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ACP

και φέρνω τα τμήματα PB, PM

.

Προφανώς $\angle PAB=15^{0}$ . Έστω $N\equiv AM\cap PC$ .

Η

είναι μεσοκάθετος του

.

Οπότε PM=MC

. Αλλά

. Άρα $\angle BPC=90^{0}$ .

Από το τρίγωνο BPA

εύκολα προκύπτει ότι $\angle ABP=15^{0}$ .

Επομένως PB=PC=PA

.

Συνεπώς το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC

.

Οπότε $\angle B=30^{0}$ .

Τέλος από το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ABC

έπεται ότι $\angle C=105^{0}$ .

Ιστοσελίδα · #5

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm

Στο σχήμα η είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)

Καλησπέρα.

: shape.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 1281 φορές

Φέρω $CD,ME \bot AB$ και θέτω AD = 2k

Θα είναι

, από $\displaystyle \dfrac{{ME}}{{AE}}\mathop = \limits^{\tan {{15}^ \circ }} 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow AE = k(2 + \sqrt 3 )$ , οπότε $DE = k\sqrt 3 = BE$

Τέλος, στο $\triangleleft BEM:\tan \omega = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \omega = {30^ \circ }$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα σε όλους!

: Οι δύο γωνίες N.F.PNG (17.56 KiB) Προβλήθηκε 1245 φορές

Ο κύκλος

τέμνει την

και στο

η δε

τέμνει τον κύκλο στο

.

Το

είναι παρ/μο (αφού οι AE,BC

διχοτομούνται ) άρα $\widehat{BEA}=\widehat{EAC}=30^{0}$ ενώ $AH \perp EH$ (

διάμετρος).

Εύκολα βρίσκουμε ότι το τρίγωνο ABH

είναι ορθ. και ισοσκελές , το MAH

ισόπλευρο και το BHM

ισοσκελές.

Έτσι $\widehat{BHM}=30^{0}...\widehat{HBM}=75^{0}$ οπότε $\widehat{ABC}=30^{0}$ και $\widehat{ACB}=105^{0}$ . Φιλικά , Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm
Οι δύο γωνίες τριγώνου.png

Στο σχήμα η είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)

Έστω $\displaystyle D$ συμμετρικό του $\displaystyle C$ ως προς $\displaystyle AM$ .Τότε, $\displaystyle \angle DAB = {15^0}$ και $\displaystyle DM = CM = MB$

Έτσι, $\displaystyle BD \bot DC \Rightarrow \angle ABD = {15^0}$ ,άρα $\displaystyle BD = DA = DC \Rightarrow \vartriangle BDC$

ορθογώνιο-ισοσκελές $\displaystyle \Rightarrow \angle DBM = {45^0} \Rightarrow \boxed{B = {{30}^0}}$ και $\displaystyle \boxed{C = {{105}^0}}$

: Γωνίες τριγώνου.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 1244 φορές

Ιστοσελίδα · #8

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm

Στο σχήμα η είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)

Καλημέρα!

: shape2.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

Έστω ότι ο περίκυκλος του $\triangleleft AMC$ τέμνει την

στο

και έστω $CE \bot DM$

Θέτοντας ME = EC = x

εύκολα ισχύει $MC \cdot BC = C{D^2} \Rightarrow \triangleleft CDM \sim \triangleleft CBD$ , άρα $\angle B = \angle MDC = {30^ \circ }$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #9

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:32 pm
Οι δύο γωνίες τριγώνου.png

Στο σχήμα η είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)

Καλημέρα!

Έστω E,F

οι ορθές προβολές των M,B

στην ευθεία

αντίστοιχα.Έχουμε $\widehat{MAE}=30^{\circ}$ άρα AM=2ME

.Επίσης αφού

μέσο της

θα είναι

άρα $BF=ME\Leftrightarrow AF=ME$ δηλαδή AMF

ισοσκελές και έτσι $\widehat{CFM}=\widehat{MCF}=\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$

Άρα $\angle C=105^{\circ}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\angle B=30^{\circ}$

: Capture.PNG (20.69 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές

Οι δύο γωνίες τριγώνου

Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση