3+1 τετράγωνα

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

3+1 τετράγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Οκτ 09, 2019 4:20 pm

Τα K,L,J είναι τα κέντρα των τετραγώνων και τα M,O,N,P είναι μέσα των τμημάτων.
Δείξετε ότι το MONP είναι τετράγωνο

Υ.Γ. : Την έχω λύσει με συντεταγμένες
Συνημμένα
3_1_SQ.png
3_1_SQ.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 3+1 τετράγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 09, 2019 6:28 pm

exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 4:20 pm
Τα K,L,J είναι τα κέντρα των τετραγώνων και τα M,O,N,P είναι μέσα των τμημάτων.
Δείξετε ότι το MONP είναι τετράγωνο

Υ.Γ. : Την έχω λύσει με συντεταγμένες
Καλησπέρα Γιώργη!
3+1 τετράγωνα.png
3+1 τετράγωνα.png (21.13 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
Με τις πλευρές των τετραγώνων όπως φαίνονται στο σχήμα και Q το μέσο της GC, αρκεί να δείξουμε ότι οι BK, JL

είναι ίσες και κάθετες. Η ισότητα βγαίνει εύκολα από Πυθαγόρειο στα BJL, QBK και η καθετότητα από τη συνθήκη

JK^2+BL^2=JB^2+KL^2.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 393
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: 3+1 τετράγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Οκτ 09, 2019 6:41 pm

exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 4:20 pm
Τα K,L,J είναι τα κέντρα των τετραγώνων και τα M,O,N,P είναι μέσα των τμημάτων.
Δείξετε ότι το MONP είναι τετράγωνο

Υ.Γ. : Την έχω λύσει με συντεταγμένες
Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό της στροφής:

Η στροφή κέντρου C κατά 90^{\circ} που στέλνει το I στο G ,στέλνει το B στο D.Άρα DG\perp BI
Έστω S το μέσο του BG.Είναι JS//DG,SK//BI άρα SJ\perp SK.Το τετράπλευρο JSKC είναι εγγράψιμο άρα \angle JKS=\angle SCK =45^{\circ},δηλαδή το SJK είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Η στροφή κέντρου S που στέλνει το J στο K θα στέλνει το L στο B άρα τα BK,JL είναι ίσα και κάθετα.
Από την ισότητα έχουμε ότι MONP ρόμβος και από την καθετότητα θα είναι ON κάθετο στο OM.Άρα MONP τετράγωνο.
Capture.PNG
Capture.PNG (26.88 KiB) Προβλήθηκε 200 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 3+1 τετράγωνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 09, 2019 8:33 pm

Με ύλη Α Λυκείου.
Στο σχήμα του Γιώργου.
Ευχαριστώ Γιώργο.
Εστω R η τομή των ευθειών:
Αυτής που περνάει από το L και είναι παράλληλη της AE
και
αυτής που περνάει από το J και είναι παράλληλη της AD

Υπολογίζοντας τις κάθετες πλευρές των ορθογωνίων τριγώνων
QKBκαι JLR σαν συναρτήσεις των a,b
βγαίνουν ίσες .
Αρα τα ορθογώνια τρίγωνα βγαίνουν ίσα και μετά το αποτέλεσμα είναι άμεσο.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 3+1 τετράγωνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Οκτ 09, 2019 9:43 pm

Προσθέτω ένα σχήμα για τη λύση του Σταύρου , παραπάνω
3_1_SQ.png
3_1_SQ.png (23.83 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις
Η άσκηση είναι παραλλαγή της 8 σελ 51 των Μαθηματικών προσανατολισμού της Β Λυκείου


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες