Τρίγωνο-127.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 7.png (8.59 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Ζητώ το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2020 9:15 pm
7.png

Ζητώ το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Καλησπέρα!

Είναι BC=5

άρα

ορθογώνιο:
$\left\{\begin{matrix} & DC=2+2=4=AC & \\ & BE=1+2=3=AB & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \angle DAC=\angle CDA & \\ & \angle BAE=\angle AEB & \end{matrix}\right.\overset{+}{\Rightarrow} 2\vartheta +\angle BAD+\angle EAC=\angle ADE+\,\,\,\,..+\angle AED=180^{\circ}-\vartheta \Leftrightarrow 3\vartheta +90^{\circ}-\vartheta =180^{\circ}\Leftrightarrow \vartheta =45^{\circ}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2020 9:15 pm
7.png

Ζητώ το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Είναι, $\angle A=90^0$ και με

μέσον της $AC \Rightarrow AKED$ ισοσκελές τραπέζιο

Επειδή $\angle BAE= \angle AEB$ και $\angle BAE+x=90^0 \Rightarrow AE \bot DK$ $\Rightarrow 2 \vartheta =90^0 \Rightarrow \vartheta =45^0$

: T-127.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

#4

: Τρίγωνο 127 Φάνης_λύση 2.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Τα τρίγωνα $BAE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CAD$ είναι ισοσκελή με κορυφές τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Ας είναι $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Θα ισχύουν:

$MN//EC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN = 1 = BD$ άρα το τετράπλευρο BDNM

είναι παραλληλόγραμμο

με άμεση συνέπεια η $DN \bot AE$ με σημείο τομής τους το βαρύκεντρο του $\vartriangle CAD$

που επειδή οι διάμεσοί του , $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DN$ είναι ίσες, θα είναι και ίσες και κάθετες οι

$GA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,GD$ , συνεπώς $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ }$ .

#5

: Τρίγωνο 127 Φάνης_λύση 3.png (18 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Έστω

το σημείο τομής των διαμέσων $BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ των ισοσκελών τριγώνων

$BEA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CAD\,$ , Το

είναι έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ ( και περίκεντρο του $\vartriangle ADE$ )

Επειδή από το Π. Θ. έχω ότι $\widehat {BAC} = 90^\circ$ και $\widehat {BIC} = 135^\circ$ αναγκαστικά $\widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ$

αφού το τετράπλευρο AFIM

είναι εγγράψιμο.

#6

: Τρίγωνο 127 Φάνης_λύση 4.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

$\tan (\omega + \phi ) = \dfrac{{\tan \omega + \tan \phi }}{{1 - \tan \omega \tan \phi }} = \dfrac{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}}} = 1$ κι αφού $0 < \omega + \phi < 90^\circ$ θα είναι

$\omega + \phi = 45^\circ \Rightarrow \theta = 45^\circ$

Ιστοσελίδα · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2020 9:15 pm

Ζητώ το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Καλημέρα!

: shape.png (17.17 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Στο τρίγωνο $ADE:2\theta + {90^ \circ } = {180^ \circ } \Leftrightarrow \theta = {45^ \circ }$

Γιώργος Μήτσιος · #8

Χαίρετε. Εξαιρετικές οι λύσεις που προηγήθηκαν! Μια ακόμη λογιστική με χρήση του σχήματος

: Τρίγωνο..Φ.Θ..PNG (9.12 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Είναι

και με τον Ν.Σ στο ισοσκελές ADE

παίρνουμε $AD^{2}=32/5$ . Η CQI

είναι διάμεσος και ύψος

με

το βαρύκεντρο του $\triangle ADE$ .Είναι $IQ^{2}=\dfrac{IC^{2}}{9}=\dfrac{64-AD^{2}}{36}$ . Αρκεί IQ=IA=AD/2

ή ισοδύναμα $IQ^{2}=\dfrac{AD^{2}}{4}\Leftrightarrow \dfrac{64-AD^{2}}{36}=\dfrac{AD^{2}}{4}\Leftrightarrow AD^{2}=32/5$ που ισχύει.

Το $\triangle AIQ$ λοιπόν είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα $\theta=45^\circ$ . Φιλικά, Γιώργος.

Τρίγωνο-127.

Τρίγωνο-127.

Re: Τρίγωνο-127.

Re: Τρίγωνο-127.

Re: Τρίγωνο-127.

Re: Τρίγωνο-127.

Re: Τρίγωνο-127.

Re: Τρίγωνο-127.

Re: Τρίγωνο-127.

Μέλη σε σύνδεση