Ορθή εγκύκλιος

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11710
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθή εγκύκλιος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 30, 2020 2:06 pm

Ορθή  εγκύκλιος.png
Ορθή εγκύκλιος.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές
Ο έγκυκλος τριγώνου \displaystyle ABC εφάπτεται των πλευρών AB , AC στα σημεία D , E αντίστοιχα .

Αν S είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της \hat{C} με την ευθεία DE , δείξτε ότι : \widehat{BSC}=90^0 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7340
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθή εγκύκλιος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 30, 2020 3:16 pm

ορθή εγκύκλιος.png
ορθή εγκύκλιος.png (30.1 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές
Οι κίτρινες γωνίες ίσες , οι κόκκινες γωνίες ίσες έτσι το τετράπλευρο BDST ρίναι εγγράψιμο και το ζητούμενο προφανές.


Υπάρχει λύση με πολικές και αρμονική δέσμη .

Η άσκηση έχει ξαναμπεί από τον Θανάση παλιότερα
.

Κυκλοφορεί ευρέως στα βιβλία Γεωμετρίας


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ορθή εγκύκλιος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιαν 30, 2020 3:56 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 2:06 pm
Ορθή εγκύκλιος.png
Ο έγκυκλος τριγώνου \displaystyle ABC εφάπτεται των πλευρών AB , AC στα σημεία D , E αντίστοιχα .

Αν S είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της \hat{C} με την ευθεία DE , δείξτε ότι : \widehat{BSC}=90^0 .
Έστω T το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου με την BC και Q \equiv ED \cap BC.

Από το πλήρες ADTE.BC είναι (Q,B,T,C)=-1, οπότε QB/BR=CQ/CR=CQ/CE=QS/SE, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το Θ. Διχοτόμου στο \vartriangle QEC.

Άρα, QB/BR=QS/SE \Rightarrow BS \parallel ER.

Όμως, CS \perp RE (αφού \angle ECS=\angle SCT, και CE=CT), επομένως CS \perp BS, δηλαδή \angle BSC=\pi/2.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ορθή εγκύκλιος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιαν 30, 2020 4:08 pm

Η πιο πάνω λύση μπορεί να συντομευτεί ως εξής :

Αφού (Q,B,T,C)=-1 και στο \vartriangle SQR η SC είναι εξωτερική διχοτόμος, πρέπει η SB να'ναι εσωτερική διχοτόμος, οπότε και SB \perp SC.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7340
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθή εγκύκλιος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 30, 2020 4:18 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 4:08 pm
Η πιο πάνω λύση μπορεί να συντομευτεί ως εξής :

Αφού (Q,B,T,C)=-1 και στο \vartriangle SQR η SC είναι εξωτερική διχοτόμος, πρέπει η SB να'ναι εσωτερική διχοτόμος, οπότε και SB \perp SC.
:clap2: Αυτό ακριβώς Ορέστη .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9575
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθή εγκύκλιος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 30, 2020 6:27 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 2:06 pm
Ορθή εγκύκλιος.pngΟ έγκυκλος τριγώνου \displaystyle ABC εφάπτεται των πλευρών AB , AC στα σημεία D , E αντίστοιχα .

Αν S είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της \hat{C} με την ευθεία DE , δείξτε ότι : \widehat{BSC}=90^0 .
Έστω I το έγκεντρο και Z το σημείο επαφής του έγκυκλου με την BC.
Ορθή εγκύκλιος.png
Ορθή εγκύκλιος.png (21.8 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές
Ο κύκλος διαμέτρου BI τέμνει την ευθεία DE στο S. Τα σημεία B, S, D, I, Z είναι ομοκυκλικά και B\widehat SI=90^\circ.

Αρκεί να δείξω ότι τα S, I, C είναι συνευθειακά. \displaystyle S\widehat IB = S\widehat DB = A\widehat DE = 90^\circ  - \frac{{\widehat A}}{2} και \displaystyle B\widehat IZ = 90^\circ  - \frac{{\widehat B}}{2}.

Άρα, \displaystyle S\widehat IB + B\widehat IZ = 180^\circ  - \left( {\frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}} \right) \Leftrightarrow S\widehat IZ = 90^\circ  + \frac{{\widehat C}}{2} \Rightarrow S\widehat IZ + Z\widehat IC = 180^\circ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11710
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθή εγκύκλιος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 30, 2020 7:15 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 3:16 pm

Η άσκηση έχει ξαναμπεί από τον Θανάση παλιότερα
Δισκοβολία.png
Δισκοβολία.png (20.52 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές
Είναι πολύ πιθανό ( κάτι μου θύμιζε το σχήμα ) αλλά η παρούσα ανάρτηση είναι συνέχεια

του θέματος αυτού , όπου το S , ήταν η τομή της FE , με την διχοτόμο της \hat{B} .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7340
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθή εγκύκλιος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 31, 2020 10:20 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 7:15 pm
Doloros έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 3:16 pm

Η άσκηση έχει ξαναμπεί από τον Θανάση παλιότερα
Δισκοβολία.png

Είναι πολύ πιθανό ( κάτι μου θύμιζε το σχήμα ) αλλά η παρούσα ανάρτηση είναι συνέχεια

του θέματος αυτού , όπου το S , ήταν η τομή της FE , με την διχοτόμο της \hat{B} .
Αν και πρέπει να έχει τεθεί αυτούσια παλιά δείτε : Αυτή


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες