Ακόμα μία καθετότητα

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ακόμα μία καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 24, 2020 5:42 pm

Ακόμα μία καθετότητα.png
Ακόμα μία καθετότητα.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
\bigstar Το M είναι τυχαίο σημείο του ύψους AD ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC). Η BM τέμνει την AC

στο P και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου APM την AB στο Q. Αν η κάθετη από το B στην PQ τέμνει

την MQ στο F, να δείξετε ότι CF\bot AB.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ακόμα μία καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μαρ 24, 2020 6:12 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 5:42 pm
Ακόμα μία καθετότητα.png
\bigstar Το M είναι τυχαίο σημείο του ύψους AD ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC). Η BM τέμνει την AC

στο P και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου APM την AB στο Q. Αν η κάθετη από το B στην PQ τέμνει

την MQ στο F, να δείξετε ότι CF\bot AB.
Έστω H \equiv CF \cap AD. Τότε, είναι \angle FMB=\angle A=2\angle PQM=2(90^\circ-\angle MFB), οπότε \angle FMB+2\angle MFB=\pi, άρα \vartriangle MFB ισοσκελές, οπότε MF=MB=MC. Συνεπώς,

\angle MFH=\angle MCH=\angle MBH, δηλαδή το MFBH είναι εγγράψιμο. Άρα, \angle BHC=\pi - \angle FHB=\pi -\angle FMB=\pi - \angle A.

Έστω H' το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC. Τότε, H' \in AD και \angle BH'C=\pi -\angle A=\angle BHC, άρα H \equiv H', που δίνει άμεσα ότι CH \equiv CF \perp AB.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7130
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακόμα μία καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 25, 2020 3:19 am

Ακόμη μια καθετότητα.png
Ακόμη μια καθετότητα.png (41.29 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
Επειδή η γωνία ( Από το \vartriangle ADB) :

\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _1}} = 90^\circ  - \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\, και από το \vartriangle PTB: \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _2}} = 90^\circ  - \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\, θα είναι ισογώνια και

ισοσκελή τα τρίγωνα ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MFB , οπότε : MF = MB = MC και το M θα είναι

το περίκεντρο του \vartriangle FBC άρα \boxed{\widehat {{x_{}}} = \frac{1}{2}\widehat {FMB} = \widehat {{\theta _{}}}}. \widehat {{x_{}}} + \widehat {ABC} = 90^\circ  \Rightarrow AB \bot FC .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης