Γεωμετρία από Κίνα.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 17.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

Καλησπέρα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#2

: Απο Κίνα.png (59 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

Πλήρης λύση

α)

: Απο Κίνα_a.png (32.93 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

Γράφω το κύκλο του τριγώνου ABC

και ας είναι

το κέντρο του .

Επειδή $\widehat {ABC} = 64^\circ + 86^\circ = 120^\circ$ αναγκαστικά $\widehat {AKC} = 60^\circ$ και το τρίγωνο AKC

είναι ισόπλευρο και $\widehat {AKB} = 2\widehat {BCA} = 2 \cdot 17^\circ = 34^\circ = \widehat {ACD}$ .

β)

: Απο Κίνα_b.png (34.69 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

Ας είναι τώρα

το σημείο τομής των $BK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ . Επειδή $\widehat {AKC} = \widehat {ACK} = 60^\circ$

αναγκαστικά το τρίγωνο SKC

είναι ισοσκελές με κορυφή το

και η

μεσοκάθετη στο

με άμεση συνέπεια η

$\widehat {SAC} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {SAB} = 30^\circ + 13^\circ = 43^\circ = \widehat {BDS}$ και άρα το τετράπλευρο ADSB

είναι εγγράψιμο .

γ)

: Απο Κίνα_c.png (58.65 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου $KBC \to \left( {26^\circ ,77^\circ ,77^\circ } \right)$ θα είναι

$\widehat {DBK} = 86^\circ - 77^\circ = 9^\circ$ και λόγω του εγραψίμου τετραπλεύρου ADSB

θα είναι και $\widehat {DAS} = 9^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat {DAC} = 9^\circ + 30^\circ = 39^\circ }$ .

#3

Δεν ξέρω πότε την έχουν δημοσιεύσει οι Κινέζοι.

Στο ίδιο πνεύμα υπάρχει άσκηση στο βιβλίο (1987) Γεωμετρίας ολυμπιάδων του Κοντογιάννη αλλά στη λύση του υπάρχει τυπογραφικό λάθος .

Μετά ο πολυγραφότατος, αγαπητός τοις πάσι, φίλος Μπάμπης Στεργίου, την συμπεριέλαβε στο βιβλίο του Γεωμετρία

1 για διαγωνισμούς( σελίδα 606) και μου έκανε την τιμή ( δεν γνωριζόμαστε τότε ) να συμπεριλάβει στο βιβλίο του αυτό, μια λύση που του έστειλα.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2020 10:16 pm
17.png

Καλησπέρα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Ο περίκυκλος του $\triangle ABD$ τέμνει την

στο

και $\angle ZDB=13^0$ άρα $\angle ZDC=30^0$

Επειδή $\angle B_{ \varepsilon \xi } =30^0 \Rightarrow DBKC$ εγγράψιμο και ο περίκυκλός του τέμνει την

στο

Η διχοτόμος της $\angle ACD=34^0$ τέμνει την

στο

που είναι έκκεντρο του $\triangle ECD$

Όμως $\angle BED=129^0$ άρα $\angle DEI= \angle IEC= \angle CEB=43^0$ και τα τρίγωνα

ABC,EIC

είναι συμμετρικά ως προς την

Επειδή $\angle CIK=47^0 \Rightarrow \angle ZBC=47^0$ .Άρα $\angle \theta =39^0$

: Κίνα.png (54.17 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

Γεωμετρία από Κίνα.

Γεωμετρία από Κίνα.

Re: Γεωμετρία από Κίνα.

Re: Γεωμετρία από Κίνα.

Re: Γεωμετρία από Κίνα.

Μέλη σε σύνδεση