Απ' τα παλιά

#1

Παραλλαγή παλιάς άσκησης που είχε λύσει (εντός φακέλου) μόνο ο θεματοδότης.

: Ισότητα τμημάτων..png (9.11 KiB) Προβλήθηκε 1235 φορές

Στο τρίγωνο ABC

του παραπάνω σχήματος, να δείξετε ότι AB=CD.

Δεκτές όλες οι λύσεις. Ωστόσο, προτιμώνται λύσεις εντός φακέλου.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Η $\widehat {ABD} = 54^\circ - 24^\circ = 30^\circ$ , άρα η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {B,D,C} \right)$ που ας πούμε

το κέντρο του .

Το $\vartriangle ODB$ είναι ισόπλευρο , το $\vartriangle OBC \to \left( {108^\circ ,36^\circ ,36^\circ } \right)$ και το $\vartriangle ODC \to \left( {168^\circ ,6^\circ ,6^\circ } \right)$ .

Το ύψος

του ισοπλεύρου $\vartriangle OBD$ στην προέκτασή του προς το

, και τέμνει την

στο

.

Προφανώς AB//DZ

και το τετράπλευρο DOZB

είναι χαρταετός με

$\widehat {BZD} = \widehat {DZO} = 54^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {DZC} = 126^\circ = \widehat {BDA} \hfill \\ \widehat {OZC} = 72^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Απ τα παλιά_2.png (32.32 KiB) Προβλήθηκε 1166 φορές

Μετά απ’ αυτά : $\vartriangle CZO \to \left( {36^\circ ,72^\circ ,72^\circ } \right)$ και τα τρίγωνα , $ADB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DZC$ είναι ίσα

γιατί έχουν $BO = ZC\,\,\kappa \alpha \iota \,\widehat {ABD} = \widehat {DCZ} = 30^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDA} = \widehat {DZC} = 126^\circ$ , άρα θα έχουν και $\boxed{AB = DC}$

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: Τρί Ιούλ 21, 2020 2:35 pm Παραλλαγή παλιάς άσκησης που είχε λύσει (εντός φακέλου) μόνο ο θεματοδότης.
Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, να δείξετε ότι

Δεκτές όλες οι λύσεις. Ωστόσο, προτιμώνται λύσεις εντός φακέλου.

Γιώργο καλησπέρα. Πιστεύω πως το θέμα που διασκεύασες είναι αυτό!

: shape.png (18.76 KiB) Προβλήθηκε 1134 φορές

Έστω

ο περίκυκλος του $\triangleleft ABC$

Το $\triangleleft OAB$ είναι ισόπλευρο ( $\angle AOB = {60^ \circ }$ ) με τη

μεσοκάθετο της

Τα $\triangleleft DAO, \triangleleft OAC$ ισοσκελή της μορφής $\left( {{{108}^ \circ }{{,36}^ \circ }{{,36}^ \circ }} \right)$ , οπότε το $\triangleleft CDO\,\left( {{{36}^ \circ }{{,72}^ \circ }{{,72}^ \circ }} \right)$ είναι ισοσκελές και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

#5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τρί Ιούλ 21, 2020 9:33 pm
george visvikis έγραψε: Τρί Ιούλ 21, 2020 2:35 pm Παραλλαγή παλιάς άσκησης που είχε λύσει (εντός φακέλου) μόνο ο θεματοδότης.
Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, να δείξετε ότι

Δεκτές όλες οι λύσεις. Ωστόσο, προτιμώνται λύσεις εντός φακέλου.
Γιώργο καλησπέρα. Πιστεύω πως το θέμα που διασκεύασες είναι αυτό!shape.png
Έστω ο περίκυκλος του $\triangleleft ABC$

Το $\triangleleft OAB$ είναι ισόπλευρο ( $\angle AOB = {60^ \circ }$ ) με τη μεσοκάθετο της

Τα $\triangleleft DAO, \triangleleft OAC$ ισοσκελή της μορφής $\left( {{{108}^ \circ }{{,36}^ \circ }{{,36}^ \circ }} \right)$ , οπότε το $\triangleleft CDO\,\left( {{{36}^ \circ }{{,72}^ \circ }{{,72}^ \circ }} \right)$ είναι ισοσκελές και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

Γεια σου Μιχάλη με τα ωραία σου ! Να σε απολαμβάνουμε πιο συχνά!

#6

Καλησπέρα Νίκο και Μιχάλη!

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τρί Ιούλ 21, 2020 9:33 pm
george visvikis έγραψε: Τρί Ιούλ 21, 2020 2:35 pm Παραλλαγή παλιάς άσκησης που είχε λύσει (εντός φακέλου) μόνο ο θεματοδότης.
Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, να δείξετε ότι

Δεκτές όλες οι λύσεις. Ωστόσο, προτιμώνται λύσεις εντός φακέλου.
Γιώργο καλησπέρα. Πιστεύω πως το θέμα που διασκεύασες είναι αυτό!

Αυτό ακριβώς είναι Μιχάλη και μου άρεσαν ιδιαίτερα και το θέμα και οι λύσεις σου!

Γιώργος Μήτσιος · #7

Χαιρετώ τους $\Phi$ ίλους!
Με γωνία

άρα στο σχήμα ..

.. αναμενόμενο να εμφανιστεί κι' ο χρυσός αριθμός $\Phi$ . Η λύση προφανώς εκτός φακέλου

: Απ' τα παλιά..(2).png (72.64 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

Με τον Ν.Η στο τρίγωνο BAD

παίρνουμε $\dfrac{c}{k}=\dfrac{sin54^{0}}{sin30^{0}} =\Phi$ .
Από την ομοιότητα των τριγώνων BAD

και

προκύπτει $\dfrac{c}{k}=\dfrac{k+m}{c}$ .

Επομένως έχουμε $\Phi =\dfrac{1}{\Phi }+\dfrac{m}{c}\Rightarrow \dfrac{m}{c}=1$ δηλ AB=DC

.

Μιχάλη, το εν λόγω παλαιό σου θέμα ήταν από πολύ καιρό ελκυστικό και σε μένα!

Αυτό βεβαίως στάθηκε αφορμή και για την δημιουργία του θέματος Αυτού.

Φιλικά, Γιώργος

Απ' τα παλιά

Απ' τα παλιά

Re: Απ' τα παλιά

Re: Απ' τα παλιά

Re: Απ' τα παλιά

Re: Απ' τα παλιά

Re: Απ' τα παλιά

Re: Απ' τα παλιά

Μέλη σε σύνδεση