Καθετότητα

#1

: Καθεότητα.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Σε τρίγωνο ABC

είναι $\widehat {{B_{}}} = 2\widehat {{C_{}}}$ . Φέρνω το ύψος

και θεωρώ σημείο

της πλευράς

με

.

Αν ο κύκλος $\left( {D,DA} \right)$ τμήσει ακόμα την

στο

, δείξετε ότι : $ET \bot AC$ .

Δεκτές λύσεις κι εκτός φακέλου .

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλό βράδυ σε όλους! Δίνω σχήμα και έπεται η προσέγγιση

: Καθετότητα Ν.Φ.png (134.98 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Έχουμε

(ακτίνες) άρα $\widehat{DTA}=\widehat{DAT}=90^o-\theta$ .

Στο τρίγωνο DAT

είναι $\widehat{ADT}+\left 2( 90^o-\theta \right )=180^o\Rightarrow \widehat{ADT}=2\theta$ .Έτσι $\widehat{TDC}=90^o-2\theta =\widehat{BAD}$

Φέρω $MT \perp DT$ με $M \in BC$ .

Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα BAD,MTD

είναι ίσα με συνέπειες :

TM=BD=EC/2

και $\widehat{TME}=2\theta$ οπότε $\widehat{MTC}=\theta$ και MC=MT=EC/2

δηλ. η

είναι διάμεσος ίση με το μισό της απέναντι πλευράς και τελικά $\widehat{ETC}=90^o$

Φιλικά, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 31, 2021 8:11 pm
Καθεότητα.png

Σε τρίγωνο είναι $\widehat {{B_{}}} = 2\widehat {{C_{}}}$ . Φέρνω το ύψος και θεωρώ σημείο της πλευράς με .

Αν ο κύκλος $\left( {D,DA} \right)$ τμήσει ακόμα την στο , δείξετε ότι : $ET \bot AC$ .

Δεκτές λύσεις κι εκτός φακέλου .

Έστω $DQ \bot AC$ και $AE \cap DQ={O}$ .Επίσης BD=m,DE=n

Με

συμμετρικό του

ως προς

κι επειδή $\angle B=2 \angle C \Rightarrow \angle ZAB= \angle C$

Άρα AB=BZ=m+n=BE

,επομένως $\angle ZAE=90^0$ ,συνεπώς $\angle DAE= \angle C$

Επιπλέον,εφόσον

μεσοκάθετος της

έχουμε,

και

ομοκυκλικά,άρα $ET \bot AC$

: κάθετος.png (62.5 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές

STOPJOHN · #4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 31, 2021 8:11 pm
Καθεότητα.png

Σε τρίγωνο είναι $\widehat {{B_{}}} = 2\widehat {{C_{}}}$ . Φέρνω το ύψος και θεωρώ σημείο της πλευράς με .

Αν ο κύκλος $\left( {D,DA} \right)$ τμήσει ακόμα την στο , δείξετε ότι : $ET \bot AC$ .

Δεκτές λύσεις κι εκτός φακέλου .

Εστω ότι $ET\perp AC$ θα αποδείξω ότι το τμήμα EC=x=2a

,όπου

Στο κύκλο

τα σημεία

είναι συνευθειακά ,αφού $\hat{ATP}=90^{0}$

Εστω

το μέσο της

οπότε $TM=MC=EM,\hat{TME}=2\theta ,\hat{TEM}=90-\theta=\hat{DEP},\hat{DPE}=\theta ,$
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $ADET,\hat{DAE}=\hat{DTE}=\hat{EPD}=\theta ,$

ακόμη εστω

το σημείο τομής της TM,LE,LE//DA

Το τετράπλευρο ALTE

είναι εγγράψιμο σε κύκλο γιατί , $\hat{DAE}=\theta =\hat{AEL}=\hat{ATL}\Rightarrow \hat{ALE}=\hat{ATE}=90^{0}\Rightarrow AL//BC$

δηλαδή το ALED

είναι ορθογώνιο και AD=LE

και απο τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα ELM,ABD,

είναι $BD=EM=\dfrac{x}{2}\Rightarrow x=2a,EC=2BD$

Καθετότητα

Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση