Σελίδα 1 από 1
Θα μπορούσε και σχολική
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 19, 2022 12:40 pm
από george visvikis
- Θα μπορούσε και σχολική.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές
είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου
και
είναι ένα από τα σημεία τομής της
με τον περίκυκλο του τριγώνου. Αν οι
τένμνονται στο
να δείξετε ότι
Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 19, 2022 9:23 pm
από ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ
Το τετράπλευρο
είναι εγγεγραμμένο στον περίκυκλο του τριγώνου
. Επομένως, ισχύει:
.
Ας είναι
το ορθόκεντρο του τριγώνου
. Τότε, το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο, άρα:
.
Ταυτόχρονα, το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο. Συνεπώς:
.
Προφανώς είναι:
. Όμως, προκύπτει
και άρα το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο.
Εύκολα διαπιστώνουμε πως και το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο. Επομένως,
. Από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου
προκύπτει:
Τελικά, παρατηρούμε πως:
, άρα το τρίγωνο
είναι ισοσκελές, οπότε:
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 19, 2022 9:46 pm
από Παναγιώτης Μουρούκος
Αρκεί να δείξουμε ότι
.
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο
, έχουμε ότι
.
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο
, έχουμε ότι
.
Αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο, γιατί τότε θα ισχύει:
.
Αρκεί να δείξουμε ότι
, δηλαδή ότι
.
Αν
είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
, από το εγγράψιμο τετράπλευρο
έχουμε ότι
(ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές) και το ζητούμενο δείχτηκε.
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 20, 2022 1:16 pm
από george visvikis
Ευχαριστώ τον Φίλιππο και τον Παναγιώτη για τις λύσεις τους.
Πιστεύετε ότι η άσκηση αυτή είναι επιπέδου IMO shortlist;
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 20, 2022 2:58 pm
από ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ
Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 21, 2022 7:13 pm
από george visvikis
ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 20, 2022 2:58 pm
Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.
Μια χαρά την αξιολόγησες. Κι όμως είναι από
2010 IMO Shortlist!
Re: Θα μπορούσε και σχολική
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 11, 2022 12:15 pm
από cool geometry
εγγράψιμο , άρα
εγγράψιμο, άρα
, άρα
( από εγγράψιμο
)
επομένως
που αποδεικνύει το ζητούμενο.