Θα μπορούσε και σχολική

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11471
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Θα μπορούσε και σχολική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 19, 2022 12:40 pm

Θα μπορούσε και σχολική.png
Θα μπορούσε και σχολική.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
AD, BE, CF είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC και P είναι ένα από τα σημεία τομής της

EF με τον περίκυκλο του τριγώνου. Αν οι BP, DF τένμνονται στο Q να δείξετε ότι AP=AQ.


Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm

Re: Θα μπορούσε και σχολική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ » Τετ Ιαν 19, 2022 9:23 pm

Το τετράπλευρο APBC είναι εγγεγραμμένο στον περίκυκλο του τριγώνου ABC. Επομένως, ισχύει: A\widehat{P}Q=\widehat{C}.

Ας είναι H το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC. Τότε, το τετράπλευρο HECD είναι εγγράψιμο, άρα: B\widehat{H}D=\widehat{C}.

Ταυτόχρονα, το τετράπλευρο FHDB είναι εγγράψιμο. Συνεπώς: B\widehat{F}D=B\widehat{H}D=\widehat{C}.

Προφανώς είναι: Q\widehat{F}A=B\widehat{F}D=\widehat{C}. Όμως, προκύπτει A\widehat{P}Q=Q\widehat{F}A=\widehat{C} και άρα το τετράπλευρο PQAF είναι εγγράψιμο.

Εύκολα διαπιστώνουμε πως και το τετράπλευρο FECB είναι εγγράψιμο. Επομένως, A\widehat{F}E=\widehat{C}. Από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου PFAQ προκύπτει: P\widehat{Q}A=A\widehat{F}E=\widehat{C}

Τελικά, παρατηρούμε πως: A\widehat{Q}P=A\widehat{P}Q=\widehat{C}, άρα το τρίγωνο APQ είναι ισοσκελές, οπότε: AP=AQ


Παναγιώτης Μουρούκος
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2021 1:14 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Θα μπορούσε και σχολική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παναγιώτης Μουρούκος » Τετ Ιαν 19, 2022 9:46 pm

Αρκεί να δείξουμε ότι A\hat{P}Q=A\hat{Q}P.

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο APBC, έχουμε ότι A\hat{P}Q=A\hat{C}B=\omega.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο BFEC, έχουμε ότι A\hat{F}E=A\hat{C}B=\omega.

Αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο AQPF είναι εγγράψιμο, γιατί τότε θα ισχύει: A\hat{Q}P=A\hat{F}E=\omega.

Αρκεί να δείξουμε ότι A\hat{P}Q=A\hat{F}Q=\omega, δηλαδή ότι B\hat{F}D=\omega.

Αν H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC, από το εγγράψιμο τετράπλευρο BFHD έχουμε ότι B\hat{F}D=B\hat{H}D=A\hat{C}B=\omega (ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές) και το ζητούμενο δείχτηκε.

:winner_second_h4h:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11471
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θα μπορούσε και σχολική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 20, 2022 1:16 pm

Ευχαριστώ τον Φίλιππο και τον Παναγιώτη για τις λύσεις τους.

Πιστεύετε ότι η άσκηση αυτή είναι επιπέδου IMO shortlist;


ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm

Re: Θα μπορούσε και σχολική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ » Πέμ Ιαν 20, 2022 2:58 pm

Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11471
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θα μπορούσε και σχολική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 21, 2022 7:13 pm

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε:
Πέμ Ιαν 20, 2022 2:58 pm
Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.
Μια χαρά την αξιολόγησες. Κι όμως είναι από 2010 IMO Shortlist!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης