Διάμεσος και διχοτόμος

#1

: Διάμεσος και διχοτόμος.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Σε τρίγωνο ABC

,

. Φέρνω τη διάμεσό του

και τη διάμεσο

του $\vartriangle ABM$ .

Δείξετε ότι η

είναι διχοτόμος του $\vartriangle NBC$ .

Κι εδώ υπάρχει πληθώρα λύσεων , έγκυρες όλες .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 23, 2022 12:08 am
Διάμεσος και διχοτόμος.png
Σε τρίγωνο , . Φέρνω τη διάμεσό του και τη διάμεσο του $\vartriangle ABM$ .

Δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του $\vartriangle NBC$ .

Κι εδώ υπάρχει πληθώρα λύσεων , έγκυρες όλες .

Με

συμμετρικό του

ως προς

είναι

Επειδή

μέσον της

και

το

είναι κ.βάρους του τριγώνου BZC

άρα

μέσον της

Αλλά το τρίγωνο ZMC

είναι ισοσκελές οπότε

μεσοκάθετη της

άρα $\angle B_{1}= \angle B_{2}$

: Διάμεσος και διχοτόμος.png (19.34 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

STOPJOHN · #3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 23, 2022 12:08 am
Διάμεσος και διχοτόμος.png
Σε τρίγωνο , . Φέρνω τη διάμεσό του και τη διάμεσο του $\vartriangle ABM$ .

Δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του $\vartriangle NBC$ .

Κι εδώ υπάρχει πληθώρα λύσεων , έγκυρες όλες .

Είναι

και

παραλληλόγραμμα ,οπότε

AB=MO=SC,MO//SC,OM=MC

και το τετράπλευρο OMCS

είναι ρόμβος Αρα

$\hat{NMB}=\hat{BMP},NM=MP=\dfrac{b}{4}$ και η

είναι μεσοκάθετη στο τμήμα

Αρα $\hat{NBM}=\hat{MBC}$

#4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 23, 2022 12:08 am
Διάμεσος και διχοτόμος.png
Σε τρίγωνο , . Φέρνω τη διάμεσό του και τη διάμεσο του $\vartriangle ABM$ .

Δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του $\vartriangle NBC$ .

Κι εδώ υπάρχει πληθώρα λύσεων , έγκυρες όλες .

: Διάμεσος και διχοτόμος.Φ.png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

Αν

είναι το μέσο του

τότε

κι επειδή το ABM

είναι ισοσκελές, θα είναι BG=MG

και το ζητούμενο έπεται.

#5

Μία εκτός φακέλου.

: Διάμεσος και διχοτόμος.Φ2.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Τα τρίγωνα ABN, ABC

έχουν την γωνία $\widehat A$ κοινή και $\displaystyle \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2},$ άρα θα είναι

όμοια, οπότε $A\widehat BN=\widehat C.$ Αλλά, $\displaystyle A\widehat MB = A\widehat BM \Leftrightarrow \widehat C + \theta = \widehat C + \omega \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=\omega}$

#6

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο ABMD

και είναι

: Διάμεσος και διχοτόμος.Φ3.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

$\displaystyle B\widehat MD = B\widehat MA + A\widehat MD = 90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2} + \widehat A = 90^\circ + \frac{{\widehat A}}{2} = 180^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2}} \right) = B\widehat MC$

Άρα τα τρίγωνα BMD, BMC

είναι ίσα και $\boxed{\omega=\theta}$

Ιστοσελίδα · #7

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 23, 2022 12:08 am

Σε τρίγωνο , . Φέρνω τη διάμεσό του και τη διάμεσο του $\vartriangle ABM$ .

Δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του $\vartriangle NBC$ .

Κι εδώ υπάρχει πληθώρα λύσεων , έγκυρες όλες .

: 2022-01-23_10-29-45.jpg (15.25 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Αν

το μέσο της

, τότε $\triangleleft BMK\mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \triangleleft BMN$ και το ζητούμενο έπεται!

#8

Kαλημέρα σε όλους. Μία λύση, δίχως να φέρουμε βοηθητική. Όμως, δεν θυμάμαι καλά, αν η τριγωνομετρική γενίκευση του Θεωρήματος διχοτόμων (τριγωνομετρικός CEVA) είναι στην φετινή ύλη ...

: 22-01-2022 Γεωμετρία.jpg (23.47 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Tα

έχουν $\displaystyle \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$ και $\displaystyle \widehat A$ κοινή άρα είναι όμοια με λόγο 1:2

, οπότε $\displaystyle BC = 2BN = 2y$ .

Από τριγωνομετρικό CEVA στο BCN

έχουμε $\displaystyle \frac{{MC}}{{MN}} = \frac{{BC \cdot \eta \mu \omega }}{{BN \cdot \eta \mu \varphi }} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{x} = \frac{{2y \cdot \eta \mu \omega }}{{y \cdot \eta \mu \varphi }} \Leftrightarrow \eta \mu \varphi = \eta \mu \omega \Leftrightarrow \varphi = \omega$

#9

Μία μετρική με θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα ABM, ABC.

: Διάμεσος και διχοτόμος.Φ4.png (9.86 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 4{c^2} + B{M^2} = 2B{N^2} + 2{c^2}\\ \\ 4{c^2} + {a^2} = 2B{M^2} + 8{c^2} \end{array} \right.$ και με απαλοιφή του

είναι $\displaystyle BN = \frac{a}{2}$

$\displaystyle \frac{{NM}}{{NC}} = \frac{1}{2} = \frac{{BN}}{{BC}}$ και το ζητούμενο έπεται.

#10

: Διάμεσος και διχοτόμος.Φ5.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Έστω

μέσα των

Το

είναι προφανώς ρόμβος, οπότε η

είναι μεσοκάθετος του

και το συμπέρασμα έπεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 23, 2022 12:08 am
Διάμεσος και διχοτόμος.png
Σε τρίγωνο , . Φέρνω τη διάμεσό του και τη διάμεσο του $\vartriangle ABM$ .

Δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του $\vartriangle NBC$ .

Κι εδώ υπάρχει πληθώρα λύσεων , έγκυρες όλες .

Με

είναι

και

ισοσκελές τραπέζιο

$\angle \theta + B_{1} = \angle \theta + \varphi \Rightarrow \angle B_{1} = \angle \varphi$

: Διάμεσος και διχοτόμος.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #12

Για την Καλησπέρα σε φίλους!

: 24-1 Διάμεσος-διχοτόμος.png (102.84 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Ας είναι

. Τότε

και

. Με τον Ν. Συνημιτόνων στα BAC

και

παίρνουμε $BC^{2}=20+16cosA$ και $BN^{2}=5+4cosA$ . Απ' αυτές $\dfrac{BC}{BN}=2=\dfrac{MC}{MN}$

δηλ. $\varphi =\theta$ με το αντίστροφο του θ. εσωτερικής διχοτόμου. Φιλικά, Γιώργος

Διάμεσος και διχοτόμος

Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση