Εγγράψιμο και ρόμβος

Maria-Eleni Nikolaou · #1

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$ , με $AB<A\Gamma$ , η διχοτόμος της $\angle{AB\Gamma}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του C_1(O,R)

στο $\Delta$ έτσι ώστε $AB=A\Delta$ . Επίσης, $A\Gamma\,\cap\,B\Delta\equiv M$ και $R\sqrt{2}<B\Gamma<2R$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Ο κύκλος $C_2(M,O,\Gamma)$ διέρχεται από το $\Delta$ .
β) Αν $\angle{M\Gamma O}=10^{\circ}$ και

σημείο του C_1

στην προέκταση του

τότε το τετράπλευρο $BO\Gamma N$ είναι ρόμβος.

Ας είναι 24 ώρες για μαθητές ή πρώτη λύση από μαθητή.

Σας ευχαριστώ,
Μαριλένα

: Εγγράψιμο και ρόμβος.png (56.46 KiB) Προβλήθηκε 1093 φορές

cool geometry · #2

Ας αφήσουμε την υπέροχη αυτή άσκηση στους μαθητές μας, πραγματικά καταπληκτική άσκηση.

fogsteel · #3

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 10:55 pm
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$ , με $AB<A\Gamma$ , η διχοτόμος της $\angle{AB\Gamma}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο $\Delta$ έτσι ώστε $AB=A\Delta$ . Επίσης, $A\Gamma\,\cap\,B\Delta\equiv M$ και $R\sqrt{2}<B\Gamma<2R$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Ο κύκλος $C_2(M,O,\Gamma)$ διέρχεται από το $\Delta$ .
β) Αν $\angle{M\Gamma O}=10^{\circ}$ και σημείο του στην προέκταση του τότε το τετράπλευρο $BO\Gamma N$ είναι ρόμβος.

Ας είναι 24 ώρες για μαθητές ή πρώτη λύση από μαθητή.

Σας ευχαριστώ,
Μαριλένα

Εγγράψιμο και ρόμβος.png

Καλησπέρα,
Καταρχάς χρόνια πολλά σε εσένα και όλους τους υπόλοιπους εορτάζοντες.

Όσον αναφορά το πρόβλημα :

α) $AD = AB \Leftrightarrow \angle ADB = \angle ABD \Leftrightarrow \angle ACB = \angle ADB = \angle MBC$ . Άρα

ανήκει στη μεσοκάθετο του

. Συνεπώς :
$\angle CON = \angle COB / 2 = \angle A = \angle BDC$ και το ζητούμενο έπεται.

β) Από το γεγονός ότι $10^\circ = \angle MCO = \angle C - \angle OCB$ , μετα από λίγες πράξεις βρίσκουμε πως οι γωνίες του $\tringle ABC$ είναι $\angle A = 60^\circ , \angle B = 80^\circ, \angle C = 40^\circ$

Αφού $\angle A = 60^\circ = \angle BON = \angle NOC$ , έπεται πως τα $\triangle OBN, OCN$ είναι ισόπλευρα, και έτσι το OCNB

έυκολα προκύπτει πως είναι ρόμβος.

cool geometry · #4

Μπράβο, πολύ καλή και κομψή λύση.

Maria-Eleni Nikolaou · #5

fogsteel έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 16, 2022 3:21 pm

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 10:55 pm
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$ , με $AB<A\Gamma$ , η διχοτόμος της $\angle{AB\Gamma}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο $\Delta$ έτσι ώστε $AB=A\Delta$ . Επίσης, $A\Gamma\,\cap\,B\Delta\equiv M$ και $R\sqrt{2}<B\Gamma<2R$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Ο κύκλος $C_2(M,O,\Gamma)$ διέρχεται από το $\Delta$ .
β) Αν $\angle{M\Gamma O}=10^{\circ}$ και σημείο του στην προέκταση του τότε το τετράπλευρο $BO\Gamma N$ είναι ρόμβος.

Ας είναι 24 ώρες για μαθητές ή πρώτη λύση από μαθητή.

Σας ευχαριστώ,
Μαριλένα

Εγγράψιμο και ρόμβος.png
Καλησπέρα,
Καταρχάς χρόνια πολλά σε εσένα και όλους τους υπόλοιπους εορτάζοντες.

Όσον αναφορά το πρόβλημα :

α) $AD = AB \Leftrightarrow \angle ADB = \angle ABD \Leftrightarrow \angle ACB = \angle ADB = \angle MBC$ . Άρα ανήκει στη μεσοκάθετο του . Συνεπώς :
$\angle CON = \angle COB / 2 = \angle A = \angle BDC$ και το ζητούμενο έπεται.

β) Από το γεγονός ότι $10^\circ = \angle MCO = \angle C - \angle OCB$ , μετα από λίγες πράξεις βρίσκουμε πως οι γωνίες του $\tringle ABC$ είναι $\angle A = 60^\circ , \angle B = 80^\circ, \angle C = 40^\circ$

Αφού $\angle A = 60^\circ = \angle BON = \angle NOC$ , έπεται πως τα $\triangle OBN, OCN$ είναι ισόπλευρα, και έτσι το έυκολα προκύπτει πως είναι ρόμβος.

Ευχαριστώ πολύ για τις ευχές και για τη λύση σου!

Αφού απαντήθηκε από μαθητή, η άσκηση είναι πλέον ανοιχτή σε όλους…

#6

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 10:55 pm
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$ , με $AB<A\Gamma$ , η διχοτόμος της $\angle{AB\Gamma}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο $\Delta$ έτσι ώστε $AB=A\Delta$ . Επίσης, $A\Gamma\,\cap\,B\Delta\equiv M$ και $R\sqrt{2}<B\Gamma<2R$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Ο κύκλος $C_2(M,O,\Gamma)$ διέρχεται από το $\Delta$ .
β) Αν $\angle{M\Gamma O}=10^{\circ}$ και σημείο του στην προέκταση του τότε το τετράπλευρο $BO\Gamma N$ είναι ρόμβος.

Ας είναι 24 ώρες για μαθητές ή πρώτη λύση από μαθητή.

Σας ευχαριστώ,
Μαριλένα

Εγγράψιμο και ρόμβος.png

Το σχολικό βιβλίο της Α Λυκείου δεν πραγματεύεται ασύμμετρα γεωμετρικά μεγέθη .

Αυτά διδάσκονται στην Β Λυκείου . Ως εκ τούτου ο φάκελος δεν είναι ο ενδεδειγμένος .

Μπορείτε να δώσετε γεωμετρική κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη και χωρίς χρήση ασύμμετρων μεγεθών ) του σχήματος του πρώτου ερωτήματος της άσκησης;

Ευνοείτε ότι η λύση πρέπει να συνοδεύεται με σχήμα και να είναι πλήρως τεκμηριωμένη .

Maria-Eleni Nikolaou · #7

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 16, 2022 7:51 pm

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 10:55 pm
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$ , με $AB<A\Gamma$ , η διχοτόμος της $\angle{AB\Gamma}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο $\Delta$ έτσι ώστε $AB=A\Delta$ . Επίσης, $A\Gamma\,\cap\,B\Delta\equiv M$ και $R\sqrt{2}<B\Gamma<2R$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Ο κύκλος $C_2(M,O,\Gamma)$ διέρχεται από το $\Delta$ .
β) Αν $\angle{M\Gamma O}=10^{\circ}$ και σημείο του στην προέκταση του τότε το τετράπλευρο $BO\Gamma N$ είναι ρόμβος.

Ας είναι 24 ώρες για μαθητές ή πρώτη λύση από μαθητή.

Σας ευχαριστώ,
Μαριλένα

Εγγράψιμο και ρόμβος.png
Το σχολικό βιβλίο της Α Λυκείου δεν πραγματεύεται ασύμμετρα γεωμετρικά μεγέθη .

Αυτά διδάσκονται στην Β Λυκείου . Ως εκ τούτου ο φάκελος δεν είναι ο ενδεδειγμένος .

Μπορείτε να δώσετε γεωμετρική κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη και χωρίς χρήση ασύμμετρων μεγεθών ) του σχήματος του πρώτου ερωτήματος της άσκησης;

Ευνοείτε ότι η λύση πρέπει να συνοδεύεται με σχήμα και να είναι πλήρως τεκμηριωμένη .

Σας ευχαριστώ για την επισήμανση. Επέλεξα τον συγκεκριμένο φάκελο θεωρώντας πως η άσκηση μπορεί να λυθεί και χωρίς αυστηρό σχήμα, με γνώσεις Α' Λυκείου. Η αναφορά στη σχέση της $B\Gamma$ με την ακτίνα, ουσιαστικά περιορίζει το μέτρο της ανάμεσα στην διάμετρο και την πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου. Μια γεωμετρική κατασκευή για το πρώτο ερώτημα θα ήταν μέσω χρήσης κανονικού πενταγώνου, ωστόσο δεν νομίζω πως είναι στις γνώσεις της Α' Λυκείου. Παραθέτω ένα ενδεικτικό σχήμα...

: Με κανονικό πεντάγωνο.png (25.87 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

#8

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 10:55 pm
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$ , με $AB<A\Gamma$ , η διχοτόμος της $\angle{AB\Gamma}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο $\Delta$ έτσι ώστε $AB=A\Delta$ . Επίσης, $A\Gamma\,\cap\,B\Delta\equiv M$ και $R\sqrt{2}<B\Gamma<2R$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Ο κύκλος $C_2(M,O,\Gamma)$ διέρχεται από το $\Delta$ .
β) Αν $\angle{M\Gamma O}=10^{\circ}$ και σημείο του στην προέκταση του τότε το τετράπλευρο $BO\Gamma N$ είναι ρόμβος.

Ας είναι 24 ώρες για μαθητές ή πρώτη λύση από μαθητή.

Σας ευχαριστώ,
Μαριλένα

Εγγράψιμο και ρόμβος.png

Πρώτα-πρώτα η προσπάθεια της μαθήτριας είναι αξιέπαινη και η εκφώνηση της άσκησης σωστή .

Πρώτο βήμα

Μπορώ με κανόνα και διαβήτη να κατασκευάσω γωνία με μέτρο ανάμεσα στις $60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,90^\circ$ . Γι’ αυτό:

: Για Μαρία Νικολάου_πρώτο βήμα.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο IBJ

. Φέρνω την κάθετη στην

στο

και συναντά την ευθεία

στο σημείο

.

Αν

τυχαίο σημείο (ανάμεσα στα $I\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ ) του ευθυγράμμου τμήματος

, η γωνία $\widehat {JBT}$ είναι από $60^\circ$ έως $90^\circ$ .

Δεύτερο βήμα ( κατασκευή του τριγώνου )

Πάνω στην ημιευθεία

θεωρώ σημείο

( και κρύβω τα σημεία εκτός των T,B,C

)

Η μεσοκάθετος του

και η διχοτόμος της $\widehat {CBA}$ τέμνονται στο

και οι ευθείες $BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ τέμνονται στο

.

: Για Μαρία Νικολάου_δεύτερο βήμα.png (25.89 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι αυτό που θέλω . Αν γράψω τον κύκλο του και τον κύκλο $\left( {A,AB} \right)$ προσδιορίζω και το

.

Επειδή οι γωνίες $\widehat {{\omega _{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _{}}}$ είναι, κάθε μια, το μισό της επίκεντρης $\widehat {BOC}$ τα σημεία M,O,C,D

ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Maria-Eleni Nikolaou · #9

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 18, 2022 10:00 am

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 10:55 pm
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$ , με $AB<A\Gamma$ , η διχοτόμος της $\angle{AB\Gamma}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο $\Delta$ έτσι ώστε $AB=A\Delta$ . Επίσης, $A\Gamma\,\cap\,B\Delta\equiv M$ και $R\sqrt{2}<B\Gamma<2R$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Ο κύκλος $C_2(M,O,\Gamma)$ διέρχεται από το $\Delta$ .
β) Αν $\angle{M\Gamma O}=10^{\circ}$ και σημείο του στην προέκταση του τότε το τετράπλευρο $BO\Gamma N$ είναι ρόμβος.

Ας είναι 24 ώρες για μαθητές ή πρώτη λύση από μαθητή.

Σας ευχαριστώ,
Μαριλένα

Εγγράψιμο και ρόμβος.png
Πρώτα-πρώτα η προσπάθεια της μαθήτριας είναι αξιέπαινη και η εκφώνηση της άσκησης σωστή .

Πρώτο βήμα

Μπορώ με κανόνα και διαβήτη να κατασκευάσω γωνία με μέτρο ανάμεσα στις $60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,90^\circ$ . Γι’ αυτό:

Για Μαρία Νικολάου_πρώτο βήμα.png
Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο . Φέρνω την κάθετη στην στο και συναντά την ευθεία στο σημείο .

Αν τυχαίο σημείο (ανάμεσα στα $I\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ ) του ευθυγράμμου τμήματος , η γωνία $\widehat {JBT}$ είναι από $60^\circ$ έως $90^\circ$ .

Δεύτερο βήμα ( κατασκευή του τριγώνου )

Πάνω στην ημιευθεία θεωρώ σημείο ( και κρύβω τα σημεία εκτός των )

Η μεσοκάθετος του και η διχοτόμος της $\widehat {CBA}$ τέμνονται στο και οι ευθείες $BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ τέμνονται στο .
Για Μαρία Νικολάου_δεύτερο βήμα.png
Το τρίγωνο είναι αυτό που θέλω . Αν γράψω τον κύκλο του και τον κύκλο $\left( {A,AB} \right)$ προσδιορίζω και το .

Επειδή οι γωνίες $\widehat {{\omega _{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _{}}}$ είναι, κάθε μια, το μισό της επίκεντρης $\widehat {BOC}$ τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Σας ευχαριστώ πολύ, τιμή μου η ενασχόλησή σας με την άσκηση!

Εγγράψιμο και ρόμβος

Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Re: Εγγράψιμο και ρόμβος

Μέλη σε σύνδεση