Η τέταρτη καθετότητα

KARKAR · #1

: Η τέταρτη καθετότητα.png (13.08 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

$\bigstar$ Το οξυγώνιο τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

. Από το ίχνος του

ύψους

, φέρουμε : $DE\perp AB$ και $DF\perp AC$ . Δείξτε ότι : $AO \perp EF$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 11:59 am
Η τέταρτη καθετότητα.png $\bigstar$ Το οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Από το ίχνος του

ύψους , φέρουμε : $DE\perp AB$ και $DF\perp AC$ . Δείξτε ότι : $AO \perp EF$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 11:59 am
Η τέταρτη καθετότητα.png $\bigstar$ Το οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Από το ίχνος του

ύψους , φέρουμε : $DE\perp AB$ και $DF\perp AC$ . Δείξτε ότι : $AO \perp EF$ .

Ως γνωστόν το BEFC

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle \widehat C = A\widehat EK.$

: 4Κ.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

$\displaystyle \widehat C = \frac{{A\widehat OB}}{2} \Leftrightarrow A\widehat EK = \frac{{180^\circ - 2B\widehat AO}}{2} = 90^\circ - E\widehat AK$ και το ζητούμενο έπεται.

Henri van Aubel · #4

Αλλιώς στα γρήγορα, γιατί σε λίγο θα πάω ποδόσφαιρο τον γιο μου

. Εύκολα (θ. προβολών ...) $AE\cdot AB=AD^{2}=AF\cdot AC\Rightarrow BEFC$ εγγράψιμο και άρα $\angle OAC+\angle AFE=\angle OAC+\angle ABC=90^\circ\Rightarrow AO\perp FE.$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 11:59 am
Η τέταρτη καθετότητα.png $\bigstar$ Το οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Από το ίχνος του

ύψους , φέρουμε : $DE\perp AB$ και $DF\perp AC$ . Δείξτε ότι : $AO \perp EF$ .

Το τετράπλευρο AEDF

είναι εγγράψιμο (γιατί έχει τις γωνίες στα $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ , από μια ορθή.

Φέρνω στο

την εφαπτομένη ευθεία $\varepsilon$ . διαδοχικά έχω :

: τέταρτη καθετότητα.png (34.36 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ (χορδής κι εφαπτομένης ) , $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες ) και $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ ( από το εγγράψιμο AEDF

).

Άρα $\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_4}} \Leftrightarrow \varepsilon //EF}$ . Αφού όμως $OA \bot \varepsilon$ θα είναι και $OA \bot EF$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 11:59 am
Η τέταρτη καθετότητα.png $\bigstar$ Το οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Από το ίχνος του

ύψους , φέρουμε : $DE\perp AB$ και $DF\perp AC$ . Δείξτε ότι : $AO \perp EF$ .

Προφανώς οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες κι επειδή $DF \bot AC$ , θα είναι $AO \bot EF$

: η τέταρτη καθετότητα.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Η τέταρτη καθετότητα

Η τέταρτη καθετότητα

Re: Η τέταρτη καθετότητα

Re: Η τέταρτη καθετότητα

Re: Η τέταρτη καθετότητα

Re: Η τέταρτη καθετότητα

Re: Η τέταρτη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση