Ολοκληρωτική εξίσωση

nikos_el · #1

Να προσδιοριστεί συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle f\left(x\right)=\left(1+x^2\right)\left(1+\int_0^x\dfrac{f\left(t\right)}{1+t^2}dt\right)$ , για κάθε $x\in\mathb{R}$ .

Μέχρι 12/02/2019

Chatzibill · #2

Έστω η συνάρτηση $g(x)=\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{t^2+1}dt$
$f(x)=(1+x^2)(1+\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt)\Rightarrow \frac{f(x)}{1+x^2}=1+\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt\Rightarrow g'(x)=1+g(x)\Rightarrow (e^{-x}g(x))'=(-e^{-x})'\Rightarrow e^{-x}g(x)=-e^{-x}+c\Rightarrow g(x)=-1+ce^{x} \Rightarrow g'(x)=ce^x \Rightarrow \frac{f(x)}{1+x^2}=ce^x\Rightarrow f(x)=ce^x(1+x^2) ,x\in \mathbb{R}$
Όμως $g(0)=0\Rightarrow c=1$ . Άρα $f(x)=e^x(x^2+1) ,x\in\mathbb{R}$

Ολοκληρωτική εξίσωση

Ολοκληρωτική εξίσωση

Re: Ολοκληρωτική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση