Σειρά με 1-1 συνάρτηση

#1

Έστω $f:\mathbb N^*\to \mathbb N^*$ μία 1-1

συνάρτηση. Δείξτε ότι η σειρά

$\displaystyle{\sum _{k=1}^{\infty} \frac {f(k)}{k^2} }$

αποκλίνει.

Ας την αφήσουμε

ώρες στους φοιτητές. Η λύση είναι απλή, αν το δεις σωστά. Δεν χρειάζονται πολύπλοκα πράγματα. Η ομορφιά της είναι στην απλότητα.

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:07 pm Έστω $f:\mathbb N^*\to \mathbb N^*$ μία συνάρτηση. Δείξτε ότι η σειρά

$\displaystyle{\sum _{k=1}^{\infty} \frac {f(k)}{k^2} }$

αποκλίνει.

Πρόκειται για άσκηση που έχει πέσει σε εξετάσεις στο Wisconsin - Madison κάπου το 2008. Έχω δύο λύσεις. Θα δώσω όμως τη μία που μου αρέσει πιο πολύ.

Εφόσον η

είναι permutation του $\mathbb{N}$ έπεται ότι:

$\displaystyle{f(1) + f(2) + \cdots + f(n) \geq 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$
Από Abel's summation formula έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^N\,\frac{f(n)}{n^2} & = \sum_{n=1}^{N-1}\,(f(1) + \cdots + f(n)) \left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right) +\frac{1}{N^2}\sum_{n=1}^N\,f(n)\\ & \geq \sum_{n=1}^{N-1}\,\frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} + \frac{N+1}{2N}\\ & = \sum_{n=1}^{N-1}\,\frac{(n-1)(2n+1)}{n(n+1)^2} + \frac{N+1}{2N}\\ & \geq \sum_{n=1}^{N-1}\,\frac{(n-1)}{n(n+1)} + \frac{1}{2} \end{aligned}}$
το αποτέλεσμα έπεται.

Mihalis Lamprou έγραψε:Η λύση είναι απλή, αν το δεις σωστά. Δεν χρειάζονται πολύπλοκα πράγματα. Η ομορφιά της είναι στην απλότητα.

Η δεύτερη λύση που έχω , και σε αυτή αναφέρεται ο κ. Μιχάλης , είναι με το κριτήριο Cauchy. Δε τη γράφω για να τη χαρεί κάποιος φοιτητής αν θέλει.

#3

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε $n \in \mathbb{N}$ ισχύει η ανισότητα

$\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f\left( k \right)}}{{{k^2}}}} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} ,$

οπότε το συμπέρασμα έπεται άμεσα, αφού η αρμονική σειρά αποκλίνει.

Έστω $n \in \mathbb{N}$ και $\displaystyle {A_n} = \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 2 \right), \ldots ,f\left( n \right)} \right\}.$

Γράφουμε $\displaystyle {A_n} = \left\{ {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right\},$ όπου $\displaystyle {x_1} < {x_2} < \cdots < {x_n}.$

Από την ανισότητα αναδιάταξης, έχουμε ότι

$\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f\left( k \right)}}{{{k^2}}}} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{x_k}}}{{{k^2}}}}.$

Αλλά είναι $\displaystyle {x_k} \ge k$ για κάθε $\displaystyle k \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\},$ οπότε

$\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{x_k}}}{{{k^2}}}} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{k^2}}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}$

και το συμπέρασμα έπεται.

#4

Παραλλαγή των ανωτέρω, στο ίδιο μήκος κύματος:

Από το 1-1

προκύπτει ότι για κάθε

προσθετέους έχουμε $\displaystyle{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_N) \geq 1 + 2 + \cdots + N = \frac{N(N+1)}{2}}$ . Άρα

$\displaystyle{\sum_{n=N+1}^{2N}\,\frac{f(n)}{n^2} \geq \frac{1}{(2N)^2}\,\sum_{n=N+1}^{2N}\,f(n) \ge \frac{1}{4N^2}\cdot \frac{N(N+1)}{2} \ge \frac{1}{8}}$ ,

Και λοιπά, από το κριτήριο Cauchy.

Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση