Μηδενική ορίζουσα

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται τυχόν πίνακας

πραγματικός διαστάσεων $n \times n$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} A &A^2 \\ A^3 & A^4 \end{vmatrix} =0 }$ .

Μέχρι 15/02

sot arm · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας πραγματικός διαστάσεων $n \times n$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} A &A^2 \\ A^3 & A^4 \end{vmatrix} =0 }$ .

Μέχρι 15/02

Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) $\displaystyle{det(A)=0}$ , τότε ο

θα χει ιδιοτιμή το

.
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

, έστω

,τότε το

είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του

της ιδιοτιμής

θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

$\displaystyle{v' = (v,v)^{T}}$ βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν $det(A)\neq 0$ ισχύει το εξής γνωστό ότι αν

αντιστρέψιμος και AC=CA

, τότε:

$\displaystyle{det(\begin{pmatrix} A &B \\ C &D \end{pmatrix})=det(AD-CB)}$

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ O & AD-CB \end{pmatrix}}$

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του

αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

$A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}$

#3

Θα μπορούσαμε να πάμε και απευθείας με ορίζουσες στην πιο κάτω ισότητα πινάκων:

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A & O \\ A^3 & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & A \\ O & O \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^3 & A^4 \end{pmatrix}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας πραγματικός διαστάσεων $n \times n$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} A &A^2 \\ A^3 & A^4 \end{vmatrix} =0 }$ .

Μέχρι 15/02
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) $\displaystyle{det(A)=0}$ , τότε ο θα χει ιδιοτιμή το .
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή , έστω ,τότε το είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του της ιδιοτιμής θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

$\displaystyle{v' = (v,v)^{T}}$ βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν $det(A)\neq 0$ ισχύει το εξής γνωστό ότι αν αντιστρέψιμος και , τότε:

$\displaystyle{det(\begin{pmatrix} A &B \\ C &D \end{pmatrix})=det(AD-CB)}$

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ O & AD-CB \end{pmatrix}}$

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

$A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}$

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ O & AD-CB \end{pmatrix}}$

η σωστή σχέση είναι

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ -CA+AC & AD-CB \end{pmatrix}}$

που βέβαια εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα.

Εναλλακτικά.Αν $A\neq 0$ υπάρχει

με $Ax\neq 0$ .

Mπορούμε να δείξουμε ότι το διάνυσμα $(A^{2}x,-Ax)^{T}$

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πού αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

.

Αρα η ορίζουσα του πίνακα είναι

.

sot arm · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 4:18 pm

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας πραγματικός διαστάσεων $n \times n$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} A &A^2 \\ A^3 & A^4 \end{vmatrix} =0 }$ .

Μέχρι 15/02
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) $\displaystyle{det(A)=0}$ , τότε ο θα χει ιδιοτιμή το .
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή , έστω ,τότε το είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του της ιδιοτιμής θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

$\displaystyle{v' = (v,v)^{T}}$ βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν $det(A)\neq 0$ ισχύει το εξής γνωστό ότι αν αντιστρέψιμος και , τότε:

$\displaystyle{det(\begin{pmatrix} A &B \\ C &D \end{pmatrix})=det(AD-CB)}$

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ O & AD-CB \end{pmatrix}}$

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

$A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}$

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ O & AD-CB \end{pmatrix}}$

η σωστή σχέση είναι

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ -CA+AC & AD-CB \end{pmatrix}}$

που βέβαια εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα.

Εναλλακτικά.Αν $A\neq 0$ υπάρχει με $Ax\neq 0$ .

Mπορούμε να δείξουμε ότι το διάνυσμα $(A^{2}x,-Ax)^{T}$

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πού αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή .

Αρα η ορίζουσα του πίνακα είναι .

Καλησπέρα κύριε Σταύρο, ξανακοιτάξτε το,
αφού αναφέρω παραπάνω οτι A, C αντιμετατιθενται

Φιλικά

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 5:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 4:18 pm

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 10:15 am
Δίδεται τυχόν πίνακας πραγματικός διαστάσεων $n \times n$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} A &A^2 \\ A^3 & A^4 \end{vmatrix} =0 }$ .

Μέχρι 15/02
Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
i) $\displaystyle{det(A)=0}$ , τότε ο θα χει ιδιοτιμή το .
Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή , έστω ,τότε το είναι ιδιοδιάνυσμα οποιασδήποτε δύναμης του της ιδιοτιμής θεωρώντας τώρα το διάνυσμα:

$\displaystyle{v' = (v,v)^{T}}$ βλέπουμε ότι είναι και ιδιοδιάνυσμα του πίνακα του οποίου την ορίζουσα ψάχνουμε με ιδιοτιμή 0 άρα το ζητούμενο δείχθηκε.

ii) Αν $det(A)\neq 0$ ισχύει το εξής γνωστό ότι αν αντιστρέψιμος και , τότε:

$\displaystyle{det(\begin{pmatrix} A &B \\ C &D \end{pmatrix})=det(AD-CB)}$

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει παίρνοντας ορίζουσες στην ισότητα πινάκων:

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ O & AD-CB \end{pmatrix}}$

και το γεγονός ότι η ορίζουσα block διαγώνιου πίνακα είναι το γινόμενο των οριζουσών την διαγωνίου.

Το ζητούμενο έπεται αφού οι δυνάμεις του αντιμετατίθενται και είναι πλέον εφαρμογή του παραπάνω για

$A=A, B=A^{2}, C=A^{4}, D=A^{3}$

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ O & AD-CB \end{pmatrix}}$

η σωστή σχέση είναι

$\displaystyle{\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{n} &A^{-1}B \\ -CA+AC & AD-CB \end{pmatrix}}$

που βέβαια εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα.

Εναλλακτικά.Αν $A\neq 0$ υπάρχει με $Ax\neq 0$ .

Mπορούμε να δείξουμε ότι το διάνυσμα $(A^{2}x,-Ax)^{T}$

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πού αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή .

Αρα η ορίζουσα του πίνακα είναι .
Καλησπέρα κύριε Σταύρο, ξανακοιτάξτε το,
αφού αναφέρω παραπάνω οτι A, C αντιμετατιθενται

Φιλικά

Δεν το είδα έχεις δίκιο. Απλά η σχέση που έγραψα ισχύει γενικά
αρκεί ο $A^{-1}$ να υπάρχει.

#7

Απειροελάχιστη παραλλαγή της λύσης του Σταύρου:

Για κάθε $x\neq 0$ το διάνυσμα $(Ax,-x)^{T}$

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

.

Άρα η ορίζουσά του είναι

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 9:53 pm
Απειροελάχιστη παραλλαγή της λύσης του Σταύρου:

Για κάθε $x\neq 0$ το διάνυσμα $(Ax,-x)^{T}$

είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή .

Άρα η ορίζουσά του είναι .

Αυτή είναι η ενδεδειγμένη λύση.

Η οποία δίνει ότι η τάξη του πίνακα είναι το πολύ

.(γιατί ; )

Ετσι η ορίζουσα κάθε $k\times k,k>n$ υποπίνακα του αρχικού

είναι

Μηδενική ορίζουσα

Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση