Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4324
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 09, 2019 12:06 pm

Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε να ισχύει:

\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x = \kappa = \int_0^1 x f(x) \, \mathrm{d}x}
Να δειχθεί ότι \displaystyle{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x \geq 4 \kappa^2}.


Μέχρι το Βαλεντίνο!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Φεβ 09, 2019 4:10 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:06 pm
Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε να ισχύει:

\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x = \kappa = \int_0^1 x f(x) \, \mathrm{d}x}
Να δειχθεί ότι \displaystyle{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x \geq 4 \kappa^2}.


Μέχρι το Βαλεντίνο!
Καλησπέρα Τόλη, έχω:

\displaystyle{\int_{0}^{1}(f(x)-6kx)^{2}dx=\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx-12k\int_{0}^{1}xf(x)dx+36k^{2}\int_{0}^{1}x^{2}dx=\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx-12k^{2}+12k^{2}=\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx}

Από την άλλη:
\displaystyle{\int_{0}^{1}(f(x)-6kx)^{2}dx\geq (\int_{0}^{1}f(x)-6kxdx )^{2}=(k-3k)^{2}=4k^{2}}

και το ζητούμενο έπεται.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 14, 2019 2:17 pm

Αλλιώς:

\displaystyle  \int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x = \int_0^1 (3x-1)^2 \, \mathrm{d}x\int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x \geqslant \left[\int_0^1 (3x-1)f(x) \, \mathrm{d}x \right]^2 = (3k-k)^2 = 4k^2

Επειδή η f είναι συνεχής η ισότητα ισχύει μόνο αν f(x) = C(3x-1) για κάποια σταθερά C. Από τα δεδομένα είναι εύκολο να πάρουμε ότι C=2k.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες