Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x = \kappa = \int_0^1 x f(x) \, \mathrm{d}x}$
Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x \geq 4 \kappa^2}$ .

Μέχρι το Βαλεντίνο!

sot arm · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:06 pm
Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x = \kappa = \int_0^1 x f(x) \, \mathrm{d}x}$
Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x \geq 4 \kappa^2}$ .

Μέχρι το Βαλεντίνο!

Καλησπέρα Τόλη, έχω:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}(f(x)-6kx)^{2}dx=\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx-12k\int_{0}^{1}xf(x)dx+36k^{2}\int_{0}^{1}x^{2}dx=\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx-12k^{2}+12k^{2}=\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx}$

Από την άλλη:
$\displaystyle{\int_{0}^{1}(f(x)-6kx)^{2}dx\geq (\int_{0}^{1}f(x)-6kxdx )^{2}=(k-3k)^{2}=4k^{2}}$

και το ζητούμενο έπεται.

#3

Αλλιώς:

$\displaystyle \int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x = \int_0^1 (3x-1)^2 \, \mathrm{d}x\int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x \geqslant \left[\int_0^1 (3x-1)f(x) \, \mathrm{d}x \right]^2 = (3k-k)^2 = 4k^2$

Επειδή η

είναι συνεχής η ισότητα ισχύει μόνο αν f(x) = C(3x-1)

για κάποια σταθερά

. Από τα δεδομένα είναι εύκολο να πάρουμε ότι C=2k

.

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση