όριο πολυμεταβλητής

#1

(*) Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το
$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to(1,0)}\frac{(x-1)^2\log{x}+2(x-1)^2+2y^2}{x^2+y^2-2x+1}\,.$

(*) θέμα Απ. Λογισμού ΙΙΙ

Μέχρι 21/2/2019

TakasiMike · #2

Aρχικά θέτουμε x-1 = u

και το όριο γίνεται :

$\displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)} \frac{u^2 \log(u+1) + 2u^2 + 2y^2}{u^2 + y^2} = \displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)} 2 + \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2} = 2 + \displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)} \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2}$

Για το όριο που απομένει χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες $u = rcos(\theta)$ και $y = rsin(\theta)$ και έτσι :

$\displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)} \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2} = \displaystyle \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 cos^2(\theta) \log(rcos(\theta) + 1)}{r^2} =$

$\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0} cos^2(\theta) \log(rcos(\theta) + 1) = 0$

Άρα $\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{(x-1)^2 \log(x) + 2(x-1)^2 + 2y^2}{(x-1)^2 + y^2} = 2$

#3

Πιο απλά από το σημείο

TakasiMike έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 7:56 pm

$\displaystyle ... = 2 + \displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)} \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2}$

.
Για τον δεύτερο προσθετέο έχουμε

$\displaystyle{ 0\le \left | \frac{u^2 }{u^2 + y^2} \right | \left | \log(u+1)\right | \le 1\cdot \left | \log(u+1)\right |\to 0}$ . Και λοιπά.

όριο πολυμεταβλητής

όριο πολυμεταβλητής

Re: όριο πολυμεταβλητής

Re: όριο πολυμεταβλητής

Μέλη σε σύνδεση