Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε δακτύλιο

μεταθετικό με μοναδιαίο.
Εστω R[x]

ο δακτύλιος των πολυωνύμων.

Για ένα $f(x)\in R[x]$ με $f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}$

δείξτε ότι

$f(x)\in U(R[x])$

αν και μόνο αν

$a_{0}\in U(R)$
και τα

$a_{n},...,a_{1}$
είναι μηδενοδύναμα στοιχεία του

Σημείωση.Το U(R)

είναι το σύνολο των αντιστρεψίμων στοιχείων του δακτυλίου

.
Ένα στοιχείο $a\in R$ λέγεται μηδενοδύναμο αν υπάρχει φυσικός

με

μέχρι 10-4-2019

sot arm · #2

Αυτή η μεταθετική τις τελευταίες μέρες έχει αφήσει το στίγμα της...Βάζω μια λύση:

Η μία κατεύθυνση έπεται από το εξής:
$\displaystyle{(1_{R}+rx)(1-rx+r^{2}x^{2}-...+(-1)^{n}r^{n-1}x^{n-1})=1_{R}}$

όπου $\displaystyle{r \in nil(R[x])}$ .Η γενική περίπτωση έπεται γράφοντας: $\displaystyle{a_{0}^{-1}f(x)=(a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1})x+1_{R}}$

Και παρατηρώντας ότι:
$\displaystyle{a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1} \in nil(R[x})}$

Για την άλλη κατεύθυνση,που έχει και το ενδιαφέρον, θεωρούμε πρώτο ιδεώδες

του

.
Έστω $\displaystyle{\varphi :R[x]\rightarrow \frac{R}{p}[x]}$ η φυσική απεικόνιση στο πηλίκο.
Τότε το στοιχείο: $\displaystyle{\varphi (f(x)) \in U(\frac{R}{p}[x]) \Rightarrow deg(f(x))=0}$

Αφού ο δακτύλιος πηλίκο είναι ακεραία περιοχή, καθώς το p είναι πρώτο ιδεώδες, δηλαδή:
$\displaystyle{a_{i} \in p , i \in {1,2,..,n-1}}$ και για κάθε πρώτο ιδεώδες p του δακτυλίου.Συνεπώς,αφού:

$\displaystyle{nil(R)=\bigcap_{p-prime} p \Rightarrow a_{i} \in nil(R)}$

Για να δείξουμε ότι:

$\displaystyle{a_{0} \in U(R) }$ απλά συγκρίνω συντελεστές στην ισότητα:
$\displaystyle{f(x)g(x)=1_{R}}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2019 4:37 pm
Αυτή η μεταθετική τις τελευταίες μέρες έχει αφήσει το στίγμα της...Βάζω μια λύση:

Η μία κατεύθυνση έπεται από το εξής:
$\displaystyle{(1_{R}+rx)(1-rx+r^{2}x^{2}-...+(-1)^{n}r^{n-1}x^{n-1})=1_{R}}$

όπου $\displaystyle{r \in nil(R[x])}$ .Η γενική περίπτωση έπεται γράφοντας: $\displaystyle{a_{0}^{-1}f(x)=(a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1})x+1_{R}}$

Και παρατηρώντας ότι:
$\displaystyle{a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1} \in nil(R[x})}$

Για την άλλη κατεύθυνση,που έχει και το ενδιαφέρον, θεωρούμε πρώτο ιδεώδες του .
Έστω $\displaystyle{\varphi :R[x]\rightarrow \frac{R}{p}[x]}$ η φυσική απεικόνιση στο πηλίκο.
Τότε το στοιχείο: $\displaystyle{\varphi (f(x)) \in U(\frac{R}{p}[x]) \Rightarrow deg(f(x))=0}$

Αφού ο δακτύλιος πηλίκο είναι ακεραία περιοχή, καθώς το p είναι πρώτο ιδεώδες, δηλαδή:
$\displaystyle{a_{i} \in p , i \in {1,2,..,n-1}}$ και για κάθε πρώτο ιδεώδες p του δακτυλίου.Συνεπώς,αφού:

$\displaystyle{nil(R)=\bigcap_{p-prime} p \Rightarrow a_{i} \in nil(R)}$

Για να δείξουμε ότι:

$\displaystyle{a_{0} \in U(R) }$ απλά συγκρίνω συντελεστές στην ισότητα:
$\displaystyle{f(x)g(x)=1_{R}}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

Ωραία Σωτήρη.
Αν δεν κάνω λάθος για να αποδειχθεί το

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2019 4:37 pm

$\displaystyle{nil(R)=\bigcap_{p-prime} p \Rightarrow a_{i} \in nil(R)}$

χρειάζεται το λήμμα του Zorn.

Η άσκηση (θεώρημα) μπορεί να αποδειχθεί χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το
Αξίωμα της Επιλογής .

Θα την αφήσω λίγο και αν δεν γραφεί λύση χωρίς το Αξίωμα της Επιλογής
θα περιγράψω μία.

Είναι η άσκηση 7 σελ166 παράγραφος 3.11
του Topics in Algebra
I.N.Herstein

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

να περιγράψω την λύση χωρίς αξίωμα επιλογής.
Κάνουμε επαγωγή στον βαθμό του πολυωνύμου.
Για βαθμό

έστω $(a_{1}x+a_{0})(b_{m}x^{m}+...+b_{1}x+b_{0})=1$
Προκύπτει ότι

$a_{1}b_{m}=0$

$a_{1}b_{m-1}+a_{0}b_{m}=0$

$a_{1}b_{m-2}+a_{0}b_{m-1}=0$
.
.
$a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1}=0$

.
$a_{0}b_{0}=0$

Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη με $a_{1}$
την τρίτη με $a_{1}^{2}$
κλπ

παίρνουμε ότι $a_{1}^{m+1}b_{0}=0$

επειδή $b_{0}$

αντιστρεψιμο το $a_{1}$ είναι μηδενοδήναμο.

εστω $p(x)=a_{n}x^{n}+q(x)$

αντιστρέψιμο όπου το q(x)

εχει βαθμό m-1

έχουμε

είναι εύκολο? όπως στην περίπτωση του πρωτοβαθμίου πολυωνύμου ότι το $a_{n}x^{n}$
είναι μηδενοδήναμο
η προηγούμενη γράφεται

$1=r(x)a_{n}x^{n}+r(x)q(x)$

υψώνοντας στην δύναμη που το $a_{n}x^{n}$ είναι μηδενοδύναμο παίρνουμε

1=h(x)q(x)

ετσι το

είναι αντιστρέψιμο .

απο την επαγωγική υπόθεση εχουμε το ζητούμενο.

Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

Re: Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

Re: Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

Re: Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση