Ύπαρξη συνάρτησης
Συντονιστής: Demetres
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ύπαρξη συνάρτησης
Δείξτε ότι υπάρχει μοναδική συνάρτηση
ώστε να ισχύουν
1)
2)
κατόπιν βρείτε αν υπάρχουν τα όρια
μέχρι 10-4-2019
ώστε να ισχύουν
1)
2)
κατόπιν βρείτε αν υπάρχουν τα όρια
μέχρι 10-4-2019
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ύπαρξη συνάρτησης
Η ύπαρξη της συνάρτησης μπορεί να προκύψει επεκτείνοντας συνέχεια το πεδίο
ορισμού της λύσης.
Δεν ήθελα όμως αυτό.
Η ύπαρξη προκύπτει κάνοντας χρήση του παρακάτω θεωρήματος
η κάποιου παραπλήσιου.
Εστω
οπου συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα
Το πρόβλημα
έχει μοναδική λύση που ορίζεται για όλα τα στο .
Το θεώρημα δεν υπάρχει σε όλα τα βιβλία Διαφορικών εξισώσεων αν και η απόδειξη του
προκύπτει εύκολα από τα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης που έχουν.
Υπάρχει π.χ στο
Ordinary Differential Equations
Garrett Birkhoff Gian-Carlo Rota
Θεώρημα 6 σελ 152
Εδώ που είναι
εύκολα βλέπουμε ότι πληρούνται οι προυποθέσεις.
Για τα όρια.
Λόγω του θεωρήματος μοναδικότητας δεν μπορεί η να μηδενίζεται.
Διατηρεί πρόσημο και λόγω της αρχικής συνθήκης και της
είναι φθίνουσα.
Το υπάρχει στο
και επειδή θα είναι
αναγκαστικά θα είναι
Το υπάρχει.
Αν ανήκει στο θα βγεί που είναι ΑΤΟΠΟ.
Αρα είναι
ορισμού της λύσης.
Δεν ήθελα όμως αυτό.
Η ύπαρξη προκύπτει κάνοντας χρήση του παρακάτω θεωρήματος
η κάποιου παραπλήσιου.
Εστω
οπου συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα
Το πρόβλημα
έχει μοναδική λύση που ορίζεται για όλα τα στο .
Το θεώρημα δεν υπάρχει σε όλα τα βιβλία Διαφορικών εξισώσεων αν και η απόδειξη του
προκύπτει εύκολα από τα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης που έχουν.
Υπάρχει π.χ στο
Ordinary Differential Equations
Garrett Birkhoff Gian-Carlo Rota
Θεώρημα 6 σελ 152
Εδώ που είναι
εύκολα βλέπουμε ότι πληρούνται οι προυποθέσεις.
Για τα όρια.
Λόγω του θεωρήματος μοναδικότητας δεν μπορεί η να μηδενίζεται.
Διατηρεί πρόσημο και λόγω της αρχικής συνθήκης και της
είναι φθίνουσα.
Το υπάρχει στο
και επειδή θα είναι
αναγκαστικά θα είναι
Το υπάρχει.
Αν ανήκει στο θα βγεί που είναι ΑΤΟΠΟ.
Αρα είναι
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Ύπαρξη συνάρτησης
Ἰσχύουν τὰ ἀκόλουθα:
1. Ἂν συνεχῶς διαφορίσιμη, τότε τὸ ΠΑΤ
ἔχει λύση σὲ κάποιο ἀνοικτὸ διάστημα ποὺ περιέχει τὸ 0, καὶ ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος. Δηλαδή, δύο ὁποιεσδήποτε λύσεις του ταυτίζονται στὸ κοινὸ πεδίο ὁρισμοῦ τους.
Ἐπίσης, ἡ λύση εἶναι εἴτε σταθερὰ εἴτε γνησίως μονότονη.
2. Ἂν ἐπὶ πλέον ὑπάρχουν , ὥστε
τότε τὸ ἀνωτέρω ΠΑΤ ἔχει καθολικὴ λύση , δηλαδὴ ὁρισμένη σ᾽ ὅλο τὸ .
3. Ἂν καὶ ὑπάρχουν , ὥστε , καὶ , τότε
καὶ
4. Ἂν καὶ ὑπάρχει μοναδικὀ , ὥστε , καὶ , τότε
καὶ
1. Ἂν συνεχῶς διαφορίσιμη, τότε τὸ ΠΑΤ
ἔχει λύση σὲ κάποιο ἀνοικτὸ διάστημα ποὺ περιέχει τὸ 0, καὶ ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος. Δηλαδή, δύο ὁποιεσδήποτε λύσεις του ταυτίζονται στὸ κοινὸ πεδίο ὁρισμοῦ τους.
Ἐπίσης, ἡ λύση εἶναι εἴτε σταθερὰ εἴτε γνησίως μονότονη.
2. Ἂν ἐπὶ πλέον ὑπάρχουν , ὥστε
τότε τὸ ἀνωτέρω ΠΑΤ ἔχει καθολικὴ λύση , δηλαδὴ ὁρισμένη σ᾽ ὅλο τὸ .
3. Ἂν καὶ ὑπάρχουν , ὥστε , καὶ , τότε
καὶ
4. Ἂν καὶ ὑπάρχει μοναδικὀ , ὥστε , καὶ , τότε
καὶ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες