Σελίδα 1 από 1

Σχέση με συνάρτηση φ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 12, 2019 1:24 pm
από Tolaso J Kos
Έστω n>2 και ας είναι \omega \in \mathbb{C} μία πρωταρχική ρίζα της μονάδος. Δείξατε ότι:

\displaystyle{[\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1}) :\mathbb{Q}]=\frac{\varphi (n)}{2}}
όπου \varphi η συνάρτηση του Euler.


Μέχρι 15/05/2019

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 18, 2019 4:52 pm
από bouzoukman
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 1:24 pm
Έστω n>2 και ας είναι \omega \in \mathbb{C} μία πρωταρχική ρίζα της μονάδος. Δείξατε ότι:

\displaystyle{[\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1}) :\mathbb{Q}]=\frac{\varphi (n)}{2}}
όπου \varphi η συνάρτηση του Euler.


Μέχρι 15/05/2019

Είναι γνωστό από τη μελέτη των cyclotomic fields ότι [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=\phi(n). Επίσης γνωρίζουμε ότι το \mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})\subset\mathbb R ενώ το \mathbb{Q}(\omega)\not\subset\mathbb R. Εύκολα βλέπουμε ότι το \omega είναι ρίζα του πολυωνύμου x^2 - (\omega + \omega^{-1})x + 1\in\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})[x]. Αρα [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})]=2 και το αποτέλεσμα έπεται εύκολα.

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 18, 2019 10:16 pm
από Tolaso J Kos
Σωστά!

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 19, 2019 3:16 pm
από bouzoukman
Απλώς να αναφέρω που ξέχασα ότι ένα καλό βιβλίο σχετικά με τα cyclotomic fields είναι του Washington .

Καλή συνέχεια!