Όριο με ρίζα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $a_i \; , \; i =1, 2, \dots, k$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} = \max\left \{ a_1, a_2 , \dots, a_k \right \}$
Μέχρι .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 11:50 pm
Έστω $a_i \; , \; i =1, 2, \dots, k$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k$ . Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} = \max\left \{ a_1, a_2 , \dots, a_k \right \}$

Ας κάνω μία βελτίωση στην εκφώνηση: Δεδομένου ότι $a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k$ , το $\max\left \{ a_1, a_2 , \dots, a_k \right \}$ είναι βέβαια a_1

.

Με λίγα λόγια, η συνθήκη $a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k$ περιττεύει.

nikos_el · #3

Έστω $a=\max\left\lbrace a_i\right\rbrace$ . Προφανώς, αφού a_i>0

, ισχύει: $a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_k^n\leqslant ka^n\Leftrightarrow a\leqslant\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}\leqslant a\sqrt[n]{k}$ . Όμως, $\lim a=a$ και $\lim\left(a\sqrt[n]{k}\right)=a\cdot\lim k^{1/n}=a$ . Επομένως, από το κριτήριο παρεμβολής, παίρνουμε $\lim\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}=a=\max\left\lbrace a_1, a_2, …, a_k\right\rbrace$ .

Τι γίνεται αν τα a_i

δεν είναι απαραιτήτως θετικά;

#4

nikos_el έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:11 pm
Τι γίνεται αν τα δεν είναι απαραιτήτως θετικά;

Τότε το όριο μπορεί να μην υπάρχει. Π.χ. για k=2, a_1=1, a_2=-1

για μεν άρτια

είναι $\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n } =\sqrt[n]{2 } \to 1$ για δε περιττά, $\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n } =\sqrt[n]{0 } \to 0.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

nikos_el έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:11 pm
Έστω $a=\max\left\lbrace a_i\right\rbrace$ . Προφανώς, αφού , ισχύει: $a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_k^n\leqslant ka^n\Leftrightarrow a\leqslant\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}\leqslant a\sqrt[n]{k}$ . Όμως, $\lim a=a$ και $\lim\left(a\sqrt[n]{k}\right)=a\cdot\lim k^{1/n}=a$ . Επομένως, από το κριτήριο παρεμβολής, παίρνουμε $\lim\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}=a=\max\left\lbrace a_1, a_2, …, a_k\right\rbrace$ .

Τι γίνεται αν τα δεν είναι απαραιτήτως θετικά;

Εξαρτάται.
Πρέπει να δούμε το εξής.
Αν το $a_{i}$ με $|a_{i}|=max\left \{ |a_{k}|:k=1,2,...,n \right \}$
είναι θετικό η αρνητικό .
π.χ αν είναι θετικό και $a_{i}> |a_{k}|,k\neq i$
συγκλίνει στο $a_{i}$
ενώ αν είναι αρνητικό με $|a_{i}|> |a_{k}|,k\neq i$
δεν συγκλίνει.
Υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις.

Όριο με ρίζα

Όριο με ρίζα

Re: Όριο με ρίζα

Re: Όριο με ρίζα

Re: Όριο με ρίζα

Re: Όριο με ρίζα

Μέλη σε σύνδεση