Φράγμα ολοκληρώματος από παράγωγο

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2511
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Φράγμα ολοκληρώματος από παράγωγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 24, 2019 1:28 pm

Εστω \displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}

δύο φορές παραγωγίσημη

Αν \displaystyle f(0)=f(1)=0
και
\displaystyle M=sup\left \{ |f''(x)|:x\in [0,1] \right \}
τότε
\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)|dx\leq \frac{1}{12}M




Μέχρι 31-8-19



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 435
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Φράγμα ολοκληρώματος από παράγωγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Σεπ 01, 2019 12:09 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Αύγ 24, 2019 1:28 pm
Εστω \displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}

δύο φορές παραγωγίσημη

Αν \displaystyle f(0)=f(1)=0
και
\displaystyle M=sup\left \{ |f''(x)|:x\in [0,1] \right \}
τότε
\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)|dx\leq \frac{1}{12}M
Για να κλείσει.

Ισχύει ότι για κάθε x\in(0,1) υπάρχει \xi \in(0,1) ώστε f(x)-P(x)=\dfrac{{f}''(\xi )}{2}x(x-1)(\bigstar )

όπου P(x) το πολυώνυμο παρεμβολής (εδώ το μηδενικό). Ο τύπος γενικεύεται αν παρεμβάλλουμε μεταξύ των

0 και 1 περισσότερα σημεία. Η απόδειξή του πάει συνοπτικά ως εξής:

Για κάθε x\in(0,1) ορίζουμε (σταθερά) k_x=\dfrac{f(x)-P(x)}{x(x-1)}. Έπειτα παίρνουμε τη συνάρτηση

g(t)=f(t)-P(t)-k_xt(t-1) στο [0,1] για την οποία ισχύει g(0)=g(x)=g(1) και από Rolle

καταλήγουμε ότι η 2η παράγωγος έχει ρίζα στο (0,1). Η (\bigstar ) τώρα είναι άμεση. Η απόδειξη στη

γενική περίπτωση είναι όμοια.

Παίρνοντας τώρα απόλυτες τιμές στην (\bigstar ), χρησιμοποιώντας την |f''(x)|\leq M και έπειτα

ολοκληρώνοντας στο [0,1] έχουμε το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης