Αντιστρέψιμος πίνακας
Συντονιστής: Demetres
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Αντιστρέψιμος πίνακας
Έστω ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο να είναι αντιστρέψιμος. Συμβολίζουμε με το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι ο είναι αντιστρέψιμος.
Μέχρι 2 Σεπτέμβρη.
Μέχρι 2 Σεπτέμβρη.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αντιστρέψιμος πίνακας
Ας το κλείσουμε και αυτό. Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο αλλά το πρώτο που βρήκα είναι το πιο κάτω:
Χρησιμοποιώντας ότι και έχουμε
Αφού ο είναι αντιστρέψιμος, αρκεί να δείξουμε και ότι ο είναι αντιστρέψιμος. Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει αυτό. Τότε υπάρχει ώστε άρα και . Τότε . Αν τότε θα είχαμε και , άτοπο αφού αντιστρέψιμος. Άρα . Τότε και . Τότε όμως πάλι άτοπο.
Χρησιμοποιώντας ότι και έχουμε
Αφού ο είναι αντιστρέψιμος, αρκεί να δείξουμε και ότι ο είναι αντιστρέψιμος. Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει αυτό. Τότε υπάρχει ώστε άρα και . Τότε . Αν τότε θα είχαμε και , άτοπο αφού αντιστρέψιμος. Άρα . Τότε και . Τότε όμως πάλι άτοπο.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Αντιστρέψιμος πίνακας
Ωραία Δημήτρη. Παραθέτω όλη την άσκηση.
Έστω ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο να είναι αντιστρέψιμος και . Συμβολίζουμε με το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι:
Έστω ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο να είναι αντιστρέψιμος και . Συμβολίζουμε με το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι:
- αν τότε ο δεν είναι απαραίτητα αντιστρέψιμος.
- αν τότε ο είναι αντιστρέψιμος.
- ο είναι αντιστρέψιμος.
- αν τότε ο είναι αντιστρέψιμος.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αντιστρέψιμος πίνακας
Το (iii) έχει ήδη αποδειχθεί. Το (ii) έχει επίσης ουσιαστικά αποδειχθεί.
Έστω . Θέτουμε και . Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι και . Επίσης, Έχουμε . Οπότε ο είναι αντιστρέψιμος. Αλλά οπότε ο δεν είναι αντιστρέψιμος. Αυτό αποδεικνύει το (i).
Τέλος για το (iv) ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι για κάποιο . Υποθέτουμε ότι . Τότε , και τέλος .
Αφού τώρα είναι και τότε . Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν . Αλλά σε αυτήν την περίπτωση έχουμε που δίνει το οποίο είναι άτοπο αφού .
Έστω . Θέτουμε και . Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι και . Επίσης, Έχουμε . Οπότε ο είναι αντιστρέψιμος. Αλλά οπότε ο δεν είναι αντιστρέψιμος. Αυτό αποδεικνύει το (i).
Τέλος για το (iv) ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι για κάποιο . Υποθέτουμε ότι . Τότε , και τέλος .
Αφού τώρα είναι και τότε . Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν . Αλλά σε αυτήν την περίπτωση έχουμε που δίνει το οποίο είναι άτοπο αφού .
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες