Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Σειρά με 1-1 συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:07 pm

Έστω f:\mathbb N^*\to \mathbb N^* μία 1-1 συνάρτηση. Δείξτε ότι η σειρά

\displaystyle{\sum _{k=1}^{\infty} \frac {f(k)}{k^2} }

αποκλίνει.

Ας την αφήσουμε 48 ώρες στους φοιτητές. Η λύση είναι απλή, αν το δεις σωστά. Δεν χρειάζονται πολύπλοκα πράγματα. Η ομορφιά της είναι στην απλότητα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Νοέμ 12, 2019 1:35 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:07 pm
Έστω f:\mathbb N^*\to \mathbb N^* μία 1-1 συνάρτηση. Δείξτε ότι η σειρά

\displaystyle{\sum _{k=1}^{\infty} \frac {f(k)}{k^2} }

αποκλίνει.
Πρόκειται για άσκηση που έχει πέσει σε εξετάσεις στο Wisconsin - Madison κάπου το 2008. Έχω δύο λύσεις. Θα δώσω όμως τη μία που μου αρέσει πιο πολύ.

Εφόσον η f είναι permutation του \mathbb{N} έπεται ότι:

\displaystyle{f(1) + f(2) + \cdots + f(n) \geq 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}}
Από Abel's summation formula έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^N\,\frac{f(n)}{n^2} & = \sum_{n=1}^{N-1}\,(f(1) + \cdots + f(n)) \left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right) +\frac{1}{N^2}\sum_{n=1}^N\,f(n)\\  
& \geq \sum_{n=1}^{N-1}\,\frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} + \frac{N+1}{2N}\\  
& = \sum_{n=1}^{N-1}\,\frac{(n-1)(2n+1)}{n(n+1)^2} + \frac{N+1}{2N}\\  
& \geq \sum_{n=1}^{N-1}\,\frac{(n-1)}{n(n+1)} + \frac{1}{2}  
\end{aligned}}
το αποτέλεσμα έπεται.

Mihalis Lamprou έγραψε:Η λύση είναι απλή, αν το δεις σωστά. Δεν χρειάζονται πολύπλοκα πράγματα. Η ομορφιά της είναι στην απλότητα.
Η δεύτερη λύση που έχω , και σε αυτή αναφέρεται ο κ. Μιχάλης , είναι με το κριτήριο Cauchy. Δε τη γράφω για να τη χαρεί κάποιος φοιτητής αν θέλει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1396
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Νοέμ 12, 2019 3:13 pm

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε n \in \mathbb{N} ισχύει η ανισότητα

\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f\left( k \right)}}{{{k^2}}}}  \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} ,

οπότε το συμπέρασμα έπεται άμεσα, αφού η αρμονική σειρά αποκλίνει.

Έστω n \in \mathbb{N} και \displaystyle {A_n} = \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 2 \right), \ldots ,f\left( n \right)} \right\}.

Γράφουμε \displaystyle {A_n} = \left\{ {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right\}, όπου \displaystyle {x_1} < {x_2} <  \cdots  < {x_n}.

Από την ανισότητα αναδιάταξης, έχουμε ότι

\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f\left( k \right)}}{{{k^2}}}}  \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{x_k}}}{{{k^2}}}}.

Αλλά είναι \displaystyle {x_k} \ge k για κάθε \displaystyle k \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}, οπότε

\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{x_k}}}{{{k^2}}}}  \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{k^2}}}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}

και το συμπέρασμα έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 12, 2019 7:19 pm

Παραλλαγή των ανωτέρω, στο ίδιο μήκος κύματος:

Από το 1-1 προκύπτει ότι για κάθε N προσθετέους έχουμε \displaystyle{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_N) \geq 1 + 2 + \cdots + N = \frac{N(N+1)}{2}}. Άρα

\displaystyle{\sum_{n=N+1}^{2N}\,\frac{f(n)}{n^2} \geq \frac{1}{(2N)^2}\,\sum_{n=N+1}^{2N}\,f(n)  \ge  \frac{1}{4N^2}\cdot  \frac{N(N+1)}{2} \ge \frac{1}{8}},

Και λοιπά, από το κριτήριο Cauchy.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης