Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 22, 2019 9:42 pm

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R} με f(x)=f(x+1)=f(x+\sqrt 3) για κάθε πραγματικό x.

Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους φοιτητές μας. Θα μπορούσε να είναι άσκηση στον SEEMOUS, όμως από τις απλές για εκεί.



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Κυρ Νοέμ 24, 2019 7:28 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 9:42 pm
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R} με f(x)=f(x+1)=f(x+\sqrt 3) για κάθε πραγματικό x.

Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους φοιτητές μας. Θα μπορούσε να είναι άσκηση στον SEEMOUS, όμως από τις απλές για εκεί.
Καλησπέρα κύριε Μιχάλη, είναι μόνο οι σταθερές.

Από την δοσμένη επαγωγικά (εύκολο) προκύπτει πως:

\displaystyle{f(0)=f(m+n\sqrt{3}), m,n \in \mathbb{Z}}

Από το θεώρημα του Kronecker,αφού το \sqrt{3}άρρητος, το σύνολο A=\{m+n\sqrt{3}, m,n \in \mathbb{Z} \} είναι πυκνό στο \mathbb{R} άρα για το τυχόν x_{0} \in \mathbb{R} υπάρχει ακολουθία (x_{n})_{n=1}^{\infty} στοιχείων του A με: x_{n} \rightarrow x_{0}.

Άρα:  f(x_{0}) = \lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_{n})=\lim_{n\rightarrow +\infty}f(0)=f(0) από την αρχή μεταφοράς, άρα f(x_{0})=f(0) και συνεπώς f(x)=f(0), \forall x \in \mathbb{R}.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:03 pm

:10sta10:

Ας δούμε τώρα και το ξαδελφάκι της:

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R} με f(x)=f(x+\sqrt 2)=f(x+\sqrt 3) για κάθε πραγματικό x.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης