Τριγωνομετρική σειρά 3

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Τριγωνομετρική σειρά 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Δεκ 12, 2019 1:29 am

Εστω \displaystyle a_{n},n\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}

πραγματικοί ώστε να ισχύει

\displaystyle |a_{n}|\geq |a_{n+1}|,n\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}

Θεωρούμε την τριγωνομετρική σειρά

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\sin nx(1)

Αν η (1) συγκλίνει απόλυτα για κάποιο

\displaystyle x_{0}\in \mathbb{R},x_{0}\neq k\pi ,k\in \mathbb{Z}

τότε συγκλίνει απόλυτα για κάθε

\displaystyle x\in \mathbb{R}

Μέχρι 14-12-2019



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρική σειρά 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 16, 2019 8:55 pm

Επαναφορά για όλους.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρική σειρά 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 02, 2020 8:04 pm

υπόδειξη.
\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|(\sin nx_{0})^{2} θα συγκλίνει και (\sin x)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρική σειρά 3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 26, 2020 10:24 pm

Αφού η σειρά συγκλίνει απόλυτα θα συγκλίνει και η
\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|(\sin nx_{0})^{2}
Επειδή
(\sin x_0)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x_0)
θα συγκλίνει και η
\sum |a_{k}|-|a_{k}|\cos 2kx_0.

Θα έχουμε το ζητούμενο αν δείξουμε ότι η

\sum |a_{k}|\cos 2kx_0
συγκλίνει.
Λόγω γνωστού θεωρήματος το μόνο που δεν έχουμε είναι ότι
|a_{k}|\rightarrow 0

Προφανώς συγκλίνει.
Αν δεν συνέκλινε στο 0 τότε
\sin nx_{0}\rightarrow 0
Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβεί γιατι είναι γνωστό ότι
\sin nx_{0}\rightarrow 0\Leftrightarrow x_0=k\pi ,k\in \mathbb{Z}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης