Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2877
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιαν 08, 2020 9:32 am

\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.
  1. Να εξετασθεί το ολοκλήρωμα ως προς την σύγκλιση.
  2. Να υπολογισθεί, εφ' όσον συγκλίνει.


έως και 12/1/2020


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2877
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιαν 16, 2020 10:49 am

grigkost έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:32 am
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.
  1. Να εξετασθεί το ολοκλήρωμα ως προς την σύγκλιση.
  2. Να υπολογισθεί, εφ' όσον συγκλίνει.


έως και 12/1/2020
Επαναφορά.

Παρατήρηση: Δεν είναι πολύ δύσκολη άσκηση.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4330
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 16, 2020 6:03 pm

grigkost έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:32 am
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.

Μία λύση ως προς τον υπολογισμό.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi/2} \frac{\ln \cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\cos x}{=\! =\! =\! =\!=\!} \int_{0}^{1} \frac{\ln u}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2}} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{0}^{1} \frac{\ln u}{1-u^2} \, \mathrm{d}u \\  
 &=\int_{0}^{1} \ln u \sum_{n=0}^{\infty} u^{2n} \, \mathrm{d}u \\  
 &= \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1} u^{2n} \ln u \, \mathrm{d}u \\ 
 &= - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} \\ 
 &= - \frac{\pi^2}{8}  
\end{aligned}}
διότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} &\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} \\  
 &\Leftrightarrow \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} \\  
 &\Leftrightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} \\  
 &\Leftrightarrow  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} \\ 
 &\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} 
\end{aligned}}
grigkost έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 10:49 am

Παρατήρηση: Δεν είναι πολύ δύσκολη άσκηση.


Η πρώτη προσέγγιση που έκανα όταν είδα το θέμα ήταν να εισαγάγω μία μεταβλητή και να παραγωγίσω το οποίο ήταν αρκετά messy στους υπολογισμούς. Τελικά , αν τα αφήσεις σε αφήνουν και αυτά. :(


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 16, 2020 7:25 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 6:03 pm

Μία λύση ως προς τον υπολογισμό.
Υπόδειξη για την ύπαρξη: Δείξε (π.χ. με l' Hospital 0/0) ότι το όριο στο μηδέν της ολοκηρωτέας υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Ουσιαστικά, δηλαδή, ολοκληρώνεις συνεχή συνάρτηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3110
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 16, 2020 7:47 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 6:03 pm
grigkost έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:32 am
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.

Μία λύση ως προς τον υπολογισμό.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi/2} \frac{\ln \cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\cos x}{=\! =\! =\! =\!=\!} \int_{0}^{1} \frac{\ln u}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2}} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{0}^{1} \frac{\ln u}{1-u^2} \, \mathrm{d}u \\  
 &=\int_{0}^{1} \ln u \sum_{n=0}^{\infty} u^{2n} \, \mathrm{d}u \\  
 &= \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1} u^{2n} \ln u \, \mathrm{d}u \\ 
 &= - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} \\ 
 &= - \frac{\pi^2}{8}  
\end{aligned}}
διότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} &\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} \\  
 &\Leftrightarrow \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} \\  
 &\Leftrightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} \\  
 &\Leftrightarrow  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} \\ 
 &\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} 
\end{aligned}}
grigkost έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 10:49 am

Παρατήρηση: Δεν είναι πολύ δύσκολη άσκηση.


Η πρώτη προσέγγιση που έκανα όταν είδα το θέμα ήταν να εισαγάγω μία μεταβλητή και να παραγωγίσω το οποίο ήταν αρκετά messy στους υπολογισμούς. Τελικά , αν τα αφήσεις σε αφήνουν και αυτά. :(
Θεωρώ ότι η ισότητα

\displaystyle   \int_{0}^{1} \ln u \sum_{n=0}^{\infty} u^{2n} du= \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1} u^{2n} \ln u du

θέλει δικαιολόγηση.

Με θεωρήματα της Θεωρίας Μέτρου είναι τετριμμένη.
Αλλιώς έχει λίγη δουλειά.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2877
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιαν 19, 2020 8:35 am

Μια απόδειξη για την σύγκλιση:

Επειδή
\begin{aligned} 
\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}}{-\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}-x}}}&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{\sqrt{\pi-2x}\;\log(\cos{x})}{\sin{x}}\\ 
&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\sqrt{\pi-2x}\;\log(\cos{x})}{\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\sin{x}}\\ 
&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{\log(\cos{x})}{\frac{1}{\sqrt{\pi-2x}}}}{\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\sin{x}}\\ 
&\stackrel{\rm{DHR}}{=\!=}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{(\pi-2x)^{3/2}}}}{\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\sin{x}}\\ 
&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{\frac{-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{(\pi-2x)^{3/2}}}}{\sin{x}}\\ 
&=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{(\pi-2x)^{3/2}\cancel{\sin{x}}}{\cos{x}\;\cancel{\sin{x}}}\\ 
&=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{(\pi-2x)^{3/2}}{\cos{x}}\\ 
&\stackrel{\rm{DHR}}{=\!=}\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\lim}\limits_{x\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\frac{-3\sqrt{\pi-2x}}{-\sin{x}}\\ 
 &=0 
 \end{aligned}
και το \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}-x}}\,{\rm{d}}x συγκλίνει (γνωστό ολοκλήρωμα), έπεται ότι και το \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x συγκλίνει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες