Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Συντονιστής: Demetres
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Εστω πολυώνυμα
με το
ανάγωγο.
Αν τα εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο
ώστε
Μέχρι 29-2-2020
με το
ανάγωγο.
Αν τα εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο
ώστε
Μέχρι 29-2-2020
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Γράφω λίγο περιληπτικά γιατί είμαι από κινητό. Έστω η κοινή ρίζα και το ελάχιστο πολυώνυμο του υπεράνω του .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 27, 2020 8:58 pmΕστω πολυώνυμα
με το
ανάγωγο.
Αν τα εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο
ώστε
Μέχρι 29-2-2020
Επειδή το είναι ανάγωγο, έπεται πως: .
Τέλος, αφού το έχει ρίζα το το διαιρεί το και άρα το διαιρεί το
Που είναι το ζητούμενο.
Υποσημείωση : έχω την εντύπωση πως το παραπάνω είναι ελλιπές, από θέμα αιτιολόγησης, αλλά είναι όλα γνωστά από Galois.
Αρμενιάκος Σωτήρης
Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Επειδή το είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών έχουμε ότι το ιδεώδες είναι κύριο, οπότε
. Το πολώνυμο είναι ένας από τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες των .
Άρα επειδή τα έχουν κοινή ρίζα έπεται ότι το είναι μη σταθερό πολυώνυμο.
Άρα αφού το διαιρεί το και επειδή το είναι ανάγωγο έπεται ότι , .
Άρα το διαιρεί το στο .
Τελειώσαμε.
. Το πολώνυμο είναι ένας από τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες των .
Άρα επειδή τα έχουν κοινή ρίζα έπεται ότι το είναι μη σταθερό πολυώνυμο.
Άρα αφού το διαιρεί το και επειδή το είναι ανάγωγο έπεται ότι , .
Άρα το διαιρεί το στο .
Τελειώσαμε.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Για να δούμε μια πιο στοιχειώδη απόδειξη.
Δουλεύουμε στο .
Το βασικό είναι ότι αν
τότε υπάρχουν πολυώνυμα
ώστε
Κάνουμε την διαίρεση του με το .
(1)
Αν
τελειώσαμε.
Διαφορετικά θα είναι .
Αλλά επειδή το ανάγωγο θα είναι
Αρα θα υπάρχουν πολυώνυμα ώστε (2)
Αν η κοινή ρίζα των τότε η (1) δίνει
οπότε από την (2) παίρνουμε ΑΤΟΠΟ.
σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το με οποιoδήποτε σώμα
Δουλεύουμε στο .
Το βασικό είναι ότι αν
τότε υπάρχουν πολυώνυμα
ώστε
Κάνουμε την διαίρεση του με το .
(1)
Αν
τελειώσαμε.
Διαφορετικά θα είναι .
Αλλά επειδή το ανάγωγο θα είναι
Αρα θα υπάρχουν πολυώνυμα ώστε (2)
Αν η κοινή ρίζα των τότε η (1) δίνει
οπότε από την (2) παίρνουμε ΑΤΟΠΟ.
σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το με οποιoδήποτε σώμα
Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Ναι βέβαια αφού το είναι σώμα έχουμε ότι το είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, οπότε έχουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 01, 2020 6:48 pmσημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το με οποιoδήποτε σώμα
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Για να ορίσουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη στο δεν χρειάζεται να μπλέξουμε ιδεώδη.stranger έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 01, 2020 11:57 pmΝαι βέβαια αφού το είναι σώμα έχουμε ότι το είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, οπότε έχουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 01, 2020 6:48 pmσημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το με οποιoδήποτε σώμα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες