Οριο διαφορετικό της τιμής

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Οριο διαφορετικό της τιμής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 02, 2020 8:20 pm

Εστω
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
συνάρτηση.

Θεωρούμε το σύνολο

E=\left \{ a:\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l\neq f(a) \right \}
(l\in \bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \})

Να δειχθεί ότι το E είναι αριθμήσιμο.

Παρατηρήσεις.
1)Το E είναι το σύνολο των σημείων που το όριο υπάρχει αλλά είναι διαφορετικό
από την τιμή της συνάρτησης.
2)Τα ίδια ισχύουν αν έχουμε f:X\rightarrow \mathbb{R} συνάρτηση όπου X διαχωρίσιμος
μετρικός χώρος.

Μέχρι 6-3-2020



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Οριο διαφορετικό της τιμής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 17, 2020 11:24 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8546
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Οριο διαφορετικό της τιμής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Σεπ 18, 2020 11:51 am

Θα γράφουμε \displaystyle \ell_a = \lim_{x \to a}f(x) αν το όριο υπάρχει. Ορίζω \displaystyle  E_n = \left\{a \in \mathbb{R} : |\ell_a - f(a)| \geqslant \frac{1}{n}\right\}. Επειδή E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n και το \mathbb{N} είναι αριθμήσιμο, αρκεί να δείξουμε ότι κάθε ένα από τα E_n είναι αριθμήσιμο.

Για κάθε a \in E_n ορίζω I_a διάστημα με ρητά άκρα με a \in I_a και \displaystyle a \neq x \in I_a \implies |\ell_a - f(x)| < \frac{1}{3n}. (Μπορώ να το κάνω από τον ορισμό του ορίου.)

Ισχυρίζομαι ότι αν a,b \in E_n με a \neq b, τότε I_a \neq I_b. Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση έχουμε a \neq b \in I_a άρα και |\ell_a - f(b)| < \frac{1}{3n}. Επίσης για x \in I_a με x \neq a και x \neq b έχουμε |\ell_a - f(x)| < \frac{1}{3n} και |\ell_b - f(x)| < \frac{1}{3n}. Από αυτές τις τρεις ανισότητες και την τριγωνική ανισότητα καταλήγουμε στο |\ell_b - f(b)| < \frac{1}{n} το οποίο είναι άτοπο.

Επειδή \mathbb{Q}^2 αριθμήσιμο, τότε και το E_n είναι αριθμήσιμο όπως θέλαμε να δείξουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης