Με δύο ακολουθίες
Συντονιστής: Demetres
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Με δύο ακολουθίες
Δίνονται μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και οι ακολουθίες πραγματικών αριθμών
όπου για κάθε
Αν ισχύει να δείξετε ότι το
υπάρχει και να το υπολογίσετε.
26/3
όπου για κάθε
Αν ισχύει να δείξετε ότι το
υπάρχει και να το υπολογίσετε.
26/3
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Με δύο ακολουθίες
Το όριο κάνει .
Έστω . Διαιρούμε με και έχουμε . Όπου .
Άρα καθώς . (1)
Έστω μια συγκλίνουσα υπακολουθία της .
Άρα από την (1) έχουμε που δίνει .
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έχουμε από Del' Hospital ότι Άρα αφού έχουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το δεν χρειάζεται.
Έστω . Διαιρούμε με και έχουμε . Όπου .
Άρα καθώς . (1)
Έστω μια συγκλίνουσα υπακολουθία της .
Άρα από την (1) έχουμε που δίνει .
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έχουμε από Del' Hospital ότι Άρα αφού έχουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το δεν χρειάζεται.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με δύο ακολουθίες
Κώστα, νομίζω ότι κάτι λείπει εκτός αν κάνω λάθος. Το παραπάνω δείχνει ότι ως προς κάποια υπακολουθία το όριο είναι , αλλά γιατί συμβαίνει το ίδιο για όλη την ακολουθία;stranger έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 1:22 amΤο όριο κάνει .
Έστω . Διαιρούμε με και έχουμε . Όπου .
Άρα καθώς . (1)
Έστω μια συγκλίνουσα υπακολουθία της .
Άρα από την (1) έχουμε που δίνει .
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έχουμε από Del' Hospital ότι Άρα αφού έχουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το δεν χρειάζεται.
Αμέσως από κάτω γράφω λύση της άσκησης.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με δύο ακολουθίες
Με έχουμε . Έπεται ότι η είναι φραγμένη αλλιώς θα είχε υπακολουθία με . Αλλά τότε
. Άτοπο.
Άρα
, και λοιπά.
. Άτοπο.
Άρα
, και λοιπά.
Re: Με δύο ακολουθίες
Αν έχουμε μια συγκλίνουσα υπακολουθία τότε αναγκαστικά το όριό της είναι . Άρα επειδή το και το είναι αντίστοιχα το μέγιστο όριο υπακολουθίας και το ελάχιστο όριο υπακολουθίας θα έχουμε . Οπότε το όριο κάνει .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 12:20 pmΚώστα, νομίζω ότι κάτι λείπει εκτός αν κάνω λάθος. Το παραπάνω δείχνει ότι ως προς κάποια υπακολουθία το όριο είναι , αλλά γιατί συμβαίνει το ίδιο για όλη την ακολουθία;stranger έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 1:22 amΤο όριο κάνει .
Έστω . Διαιρούμε με και έχουμε . Όπου .
Άρα καθώς . (1)
Έστω μια συγκλίνουσα υπακολουθία της .
Άρα από την (1) έχουμε που δίνει .
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έχουμε από Del' Hospital ότι Άρα αφού έχουμε ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το δεν χρειάζεται.
Αμέσως από κάτω γράφω λύση της άσκησης.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με δύο ακολουθίες
Ίσως δεν βλέπω κάτι: Η ακολουθία έχει υπακολουθία που συγκλίνει στο , αλλά για το μέγιστο όριο υπακολουθίας προς και το ελάχιστο όριο υπακολουθίας προς έχουμε
Re: Με δύο ακολουθίες
Κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία έχει όριο .
Στο παραδειγμά σας υπάρχουν υπακολουθίες που συγκλίνουν στο και υπακολουθίες που συγκλίνουν στο .
Στο παραδειγμά σας υπάρχουν υπακολουθίες που συγκλίνουν στο και υπακολουθίες που συγκλίνουν στο .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Με δύο ακολουθίες
Κάποιες ιδέες ακόμα που θέλουν αρκετή αιτιολόγηση νομίζω για να αποτελέσουν πλήρη λύση, ας γράψουμε:
Τότε: και
Άρα το τείνει να γίνει κάθετο στο και άρα η κλίση του τείνει στο και άρα το ζητούμενο όριο τείνει στο .
Ξαναλέω, δεν θεωρώ ότι είναι πλήρες, απλά μου φάνηκε μια ενδιαφέρουσα "μετάφραση" του ζητουμένου.
Τότε: και
Άρα το τείνει να γίνει κάθετο στο και άρα η κλίση του τείνει στο και άρα το ζητούμενο όριο τείνει στο .
Ξαναλέω, δεν θεωρώ ότι είναι πλήρες, απλά μου φάνηκε μια ενδιαφέρουσα "μετάφραση" του ζητουμένου.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες